Номер 735, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

735. *Модуль скорости электрона, ускоренного из состояния покоя в однородном электростатическом поле, $v = 2,4 \cdot 10^5 \frac{\text{км}}{\text{с}}$. Определите модуль напряженности поля, если проекция перемещения электрона на направление силовых линий $\Delta r_x = -52,5 \text{ см}$.

Дано:

$v_0 = 0 \frac{м}{с}$ (электрон ускорен из состояния покоя)

$v = 2,4 \cdot 10^5 \frac{км}{с}$

$\Delta r_x = -52,5 \text{ см}$

$q = -e = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд электрона)

$m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$ (масса покоя электрона)

$c = 3 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$ (скорость света в вакууме)

Перевод в систему СИ:

$v = 2,4 \cdot 10^5 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 2,4 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$

$\Delta r_x = -52,5 \cdot 10^{-2} \text{ м} = -0,525 \text{ м}$

Найти:

$E$ — модуль напряженности поля.

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа, совершенная электростатическим полем над электроном, равна изменению его кинетической энергии:

$A = \Delta K = K_f - K_i$

Поскольку электрон начинает движение из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия $K_i = 0$.

Скорость электрона $v = 2,4 \cdot 10^8 \frac{м}{с}$ сопоставима со скоростью света $c$. Отношение $\frac{v}{c} = \frac{2,4 \cdot 10^8}{3 \cdot 10^8} = 0,8$. Следовательно, для расчета кинетической энергии необходимо использовать релятивистскую формулу:

$K_f = (\gamma - 1) m_e c^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Вычислим фактор Лоренца:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,8)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,64}} = \frac{1}{\sqrt{0,36}} = \frac{1}{0,6} = \frac{5}{3}$

Тогда конечная кинетическая энергия электрона равна:

$K_f = (\frac{5}{3} - 1) m_e c^2 = \frac{2}{3} m_e c^2$

Работа, совершаемая однородным электростатическим полем, определяется по формуле:

$A = q E \Delta r_x$

Для электрона $q = -e$, поэтому:

$A = -e E \Delta r_x$

Приравнивая работу и изменение кинетической энергии, получаем:

$-e E \Delta r_x = \frac{2}{3} m_e c^2$

Отсюда выражаем модуль напряженности поля $E$:

$E = \frac{2 m_e c^2}{3 (-e \Delta r_x)} = -\frac{2 m_e c^2}{3 e \Delta r_x}$

Подставим числовые значения:

$E = -\frac{2 \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \frac{м}{с})^2}{3 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (-0,525 \text{ м})}$

$E = \frac{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{3 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \cdot 0,525} \frac{В}{м}$

$E = \frac{163,8 \cdot 10^{-15}}{2,52 \cdot 10^{-19}} \frac{В}{м} = 65 \cdot 10^4 \frac{В}{м} = 650 \frac{кВ}{м}$

Ответ: $E = 650 \frac{кВ}{м}$.