Номер 730, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

730. *Определите модуль импульса $\alpha$-частицы, если ее кинетическая энергия составляет $\frac{2}{3}$ энергии покоя протона. Масса $\alpha$-частицы в 4 раза больше массы протона.

Дано:

Кинетическая энергия α-частицы: $E_{k\alpha} = \frac{2}{3} E_{0p}$

Масса α-частицы: $m_\alpha = 4 m_p$

Где $E_{0p}$ - энергия покоя протона, $m_p$ - масса протона.

Найти:

Модуль импульса α-частицы $p_\alpha$.

Решение:

В релятивистской механике связь между полной энергией частицы $E$, ее импульсом $p$ и энергией покоя $E_0 = m_0 c^2$ дается соотношением:

$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$

Полная энергия $E$ также является суммой кинетической энергии $E_k$ и энергии покоя $E_0$:

$E = E_k + E_0$

Найдем связь между энергией покоя α-частицы ($E_{0\alpha}$) и энергией покоя протона ($E_{0p}$).

По определению, $E_{0\alpha} = m_\alpha c^2$ и $E_{0p} = m_p c^2$.

Из условия $m_\alpha = 4 m_p$ следует:

$E_{0\alpha} = (4 m_p) c^2 = 4 (m_p c^2) = 4 E_{0p}$

Теперь выразим кинетическую энергию α-частицы $E_{k\alpha}$ через ее собственную энергию покоя $E_{0\alpha}$. Нам дано $E_{k\alpha} = \frac{2}{3} E_{0p}$. Так как $E_{0p} = \frac{1}{4} E_{0\alpha}$, то:

$E_{k\alpha} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{4} E_{0\alpha} \right) = \frac{2}{12} E_{0\alpha} = \frac{1}{6} E_{0\alpha}$

Теперь мы можем найти полную энергию α-частицы $E_\alpha$:

$E_\alpha = E_{k\alpha} + E_{0\alpha} = \frac{1}{6} E_{0\alpha} + E_{0\alpha} = \frac{7}{6} E_{0\alpha}$

Подставим это выражение в основное релятивистское соотношение для энергии и импульса, чтобы найти импульс $p_\alpha$:

$E_\alpha^2 = (p_\alpha c)^2 + E_{0\alpha}^2$

$(p_\alpha c)^2 = E_\alpha^2 - E_{0\alpha}^2$

$(p_\alpha c)^2 = \left( \frac{7}{6} E_{0\alpha} \right)^2 - E_{0\alpha}^2 = \frac{49}{36} E_{0\alpha}^2 - E_{0\alpha}^2 = \left( \frac{49 - 36}{36} \right) E_{0\alpha}^2 = \frac{13}{36} E_{0\alpha}^2$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$p_\alpha c = \sqrt{\frac{13}{36} E_{0\alpha}^2} = \frac{\sqrt{13}}{6} E_{0\alpha}$

Поскольку $E_{0\alpha} = m_\alpha c^2$, получаем:

$p_\alpha c = \frac{\sqrt{13}}{6} m_\alpha c^2$

Сокращая на $c$, находим выражение для импульса:

$p_\alpha = \frac{\sqrt{13}}{6} m_\alpha c$

Используя $m_\alpha = 4 m_p$, выразим импульс через массу протона:

$p_\alpha = \frac{\sqrt{13}}{6} (4 m_p) c = \frac{2\sqrt{13}}{3} m_p c$

Выполним численный расчет, используя справочные значения для массы протона $m_p \approx 1.6726 \cdot 10^{-27}$ кг и скорости света $c \approx 2.9979 \cdot 10^8$ м/с.

$p_\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{3} \cdot (1.6726 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (2.9979 \cdot 10^8 \text{ м/с})$

$p_\alpha \approx \frac{2 \cdot 3.6056}{3} \cdot (5.0144 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}) \approx 2.4037 \cdot (5.0144 \cdot 10^{-19} \text{ кг} \cdot \text{м/с}) \approx 1.2055 \cdot 10^{-18} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Округляя до трех значащих цифр, получаем $1.21 \cdot 10^{-18} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: $p_\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{3} m_p c \approx 1.21 \cdot 10^{-18} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.