Номер 723, страница 213 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

723. *Релятивистская частица движется со скоростью $v < c$.

Укажите номер графика на рисунке 190, на котором правильно показана зависимость:

a) скорости частицы ($y$) от ее полной энергии ($x$);

б) полной энергии частицы ($y$) от ее импульса ($x$). Ответы обоснуйте.

Рис. 190

а) зависимость скорости частицы (y) от ее полной энергии (x)

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной энергии релятивистской частицы:

$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

где $E$ – полная энергия, $v$ – скорость частицы, $m_0$ – масса покоя, $c$ – скорость света в вакууме.

В нашем случае ось $y$ представляет скорость $v$, а ось $x$ – полную энергию $E$. Выразим $v$ через $E$:

$\sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{m_0 c^2}{E}$

$1 - v^2/c^2 = \left(\frac{m_0 c^2}{E}\right)^2$

$v^2/c^2 = 1 - \left(\frac{m_0 c^2}{E}\right)^2$

$v = c \sqrt{1 - \left(\frac{m_0 c^2}{E}\right)^2}$

Проанализируем эту зависимость:

1. Минимальная полная энергия частицы – это ее энергия покоя $E_0 = m_0 c^2$, которая достигается при $v=0$. Следовательно, график должен начинаться на оси абсцисс (оси $x$) в точке $x = E_0$, где $y=0$.

2. По мере увеличения полной энергии $E$ (то есть при $E \rightarrow \infty$), дробь $\left(\frac{m_0 c^2}{E}\right)^2$ стремится к нулю. В этом пределе скорость $v$ стремится к скорости света $c$: $v \rightarrow c$. Это означает, что у графика есть горизонтальная асимптота $y=c$.

3. Функция является возрастающей и выпуклой вверх (вогнутой).

Среди представленных графиков этим условиям удовлетворяет график под номером 4. Он начинается на оси $x$ в некоторой точке $x > 0$, возрастает и асимптотически приближается к некоторому максимальному значению.

Ответ: График 4.

б) зависимость полной энергии частицы (y) от ее импульса (x)

Воспользуемся основным релятивистским соотношением между полной энергией $E$ и импульсом $p$:

$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$

В нашем случае ось $y$ представляет полную энергию $E$, а ось $x$ – импульс $p$. Выразим $E$ через $p$:

$E = \sqrt{(pc)^2 + (m_0 c^2)^2}$

Проанализируем эту зависимость:

1. При нулевом импульсе ($p=0$) частица покоится, и ее энергия равна энергии покоя: $E = \sqrt{0 + (m_0 c^2)^2} = m_0 c^2 = E_0$. Таким образом, график должен начинаться на оси ординат (оси $y$) в точке $y = E_0 > 0$.

2. При увеличении импульса $p$ полная энергия $E$ также возрастает. При очень больших значениях импульса ($p \rightarrow \infty$) слагаемым $(m_0 c^2)^2$ можно пренебречь по сравнению с $(pc)^2$. В этом случае зависимость становится практически линейной: $E \approx \sqrt{(pc)^2} = pc$. Это означает, что при больших $x$ график асимптотически приближается к прямой $y=cx$.

3. Функция является возрастающей и выпуклой вниз (вогнутой вверх). Ее производная $dE/dp$ растет от 0 (при $p=0$) до $c$ (при $p \rightarrow \infty$).

Этим условиям лучше всего соответствует график под номером 3. Он начинается на оси $y$ в точке $y > 0$ и представляет собой возрастающую, выпуклую вниз кривую.

Ответ: График 3.