Номер 727, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

727. *Определите модуль скорости движения частицы, кинетическая энергия которой равна ее энергии покоя.

Дано:

$E_к = E_0$

$c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Найти:

$v$ - ?

Решение:

В релятивистской механике кинетическая энергия $E_к$ определяется как разность между полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$ частицы:

$E_к = E - E_0$

Полная энергия частицы, движущейся со скоростью $v$, выражается формулой:

$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Энергия покоя частицы определяется знаменитой формулой Эйнштейна:

$E_0 = m_0 c^2$

где $m_0$ — масса покоя частицы, $c$ — скорость света в вакууме.

Согласно условию задачи, кинетическая энергия частицы равна ее энергии покоя:

$E_к = E_0$

Подставим в это равенство выражение для кинетической энергии:

$E - E_0 = E_0$

Отсюда следует, что полная энергия частицы вдвое больше ее энергии покоя:

$E = 2E_0$

Теперь подставим формулы для полной энергии и энергии покоя:

$\frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2 m_0 c^2$

Сократим обе части уравнения на $m_0 c^2$ (поскольку масса покоя частицы и скорость света не равны нулю):

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = 2$

Чтобы найти скорость $v$, преобразуем полученное уравнение. Сначала выразим радикал:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Выразим отношение $\frac{v^2}{c^2}$:

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Наконец, находим модуль скорости $v$:

$v = \frac{\sqrt{3}}{2} c$

Вычислим численное значение скорости, используя значение $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с и $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$v \approx \frac{1.732}{2} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 0.866 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \approx 2.598 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Округляя, получаем:

$v \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.

Ответ: $v = \frac{\sqrt{3}}{2} c \approx 2.6 \cdot 10^8$ м/с.