Номер 721, страница 213 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

721. *В Большом адронном коллайдере, расположенном в Швейцарии, заряженные частицы ускоряются, многократно проходя по так называемому ускорительному кольцу, состоящему из дуг и прямых участков. Для поворота частиц используется магнитное поле, созданное сверхпроводящими магнитами. Энергия, которую приобретает протон в коллайдере, $E = 7 \text{ ТэВ}$. На сколько скорость света в вакууме отличается от скорости протона в коллайдере? Чему равны радиусы дуг, если модуль индукции магнитного поля в магнитах $B = 8 \text{ Тл}$?

Дано:

Полная энергия протона, $E = 7 \text{ ТэВ}$
Модуль индукции магнитного поля, $B = 8 \text{ Тл}$
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$
Элементарный заряд (заряд протона), $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Энергия покоя протона, $E_0 \approx 938 \text{ МэВ}$

Перевод в систему СИ:
$E = 7 \cdot 10^{12} \text{ эВ} = 7 \cdot 10^{12} \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.12 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$
$E_0 = 938 \cdot 10^6 \text{ эВ} = 938 \cdot 10^6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 1.5 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Найти:

1. Разность скоростей $c - v$.
2. Радиус дуг $R$.

Решение:

На сколько скорость света в вакууме отличается от скорости протона в коллайдере?

Так как энергия протона в коллайдере намного превышает его энергию покоя, необходимо применять формулы специальной теории относительности. Полная энергия частицы $E$ связана с ее скоростью $v$ через лоренц-фактор $\gamma$:
$E = \gamma E_0$, где $E_0 = m_p c^2$ - энергия покоя протона, а лоренц-фактор $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}$.
Сначала вычислим лоренц-фактор:
$\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{7 \text{ ТэВ}}{938 \text{ МэВ}} = \frac{7 \cdot 10^{12} \text{ эВ}}{938 \cdot 10^6 \text{ эВ}} \approx 7463$.
Теперь выразим скорость протона $v$ через $\gamma$:
$\gamma^2 = \frac{1}{1 - (v/c)^2} \implies 1 - (v/c)^2 = \frac{1}{\gamma^2} \implies v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.
Поскольку значение $\gamma$ очень велико, величина $\frac{1}{\gamma^2}$ будет очень мала. Это позволяет использовать приближенную формулу $\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$ для малых $x$.
$v \approx c (1 - \frac{1}{2\gamma^2})$.
Искомая разность скоростей $c - v$ равна:
$c - v \approx c - c(1 - \frac{1}{2\gamma^2}) = c - c + \frac{c}{2\gamma^2} = \frac{c}{2\gamma^2}$.
Подставим числовые значения:
$c - v \approx \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot (7463)^2} \approx \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 5.57 \cdot 10^7} \approx \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.114 \cdot 10^8} \approx 2.69 \text{ м/с}$.
Ответ: Скорость света в вакууме отличается от скорости протона в коллайдере примерно на 2.7 м/с.

Чему равны радиусы дуг, если модуль индукции магнитного поля в магнитах B = 8 Тл?

В магнитном поле на движущийся протон действует сила Лоренца, которая перпендикулярна скорости и выступает в качестве центростремительной силы, заставляя частицу двигаться по дуге окружности. Радиус этой дуги $R$ определяется релятивистским импульсом частицы $p$, ее зарядом $q$ и индукцией магнитного поля $B$:
$R = \frac{p}{qB}$.
Релятивистский импульс $p$ связан с полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$ соотношением:
$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$.
Отсюда $p = \frac{\sqrt{E^2 - E_0^2}}{c}$.
Так как полная энергия протона $E = 7 \text{ ТэВ}$ значительно больше его энергии покоя $E_0 \approx 938 \text{ МэВ}$ ($E \gg E_0$), то вкладом $E_0^2$ можно пренебречь: $E^2 - E_0^2 \approx E^2$.
Таким образом, импульс можно вычислить по приближенной формуле: $p \approx \frac{E}{c}$.
Подставим это выражение в формулу для радиуса:
$R \approx \frac{E/c}{qB} = \frac{E}{cqB}$.
Выполним расчет в системе СИ, используя ранее переведенное значение энергии $E = 1.12 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$ и заряд протона $q=e \approx 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$:
$R \approx \frac{1.12 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}}{(3 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot (1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (8 \text{ Тл})} \approx \frac{1.12 \cdot 10^{-6}}{3.84 \cdot 10^{-10}} \text{ м} \approx 2917 \text{ м}$.
Таким образом, радиус дуг ускорительного кольца составляет около 2.9 км.
Ответ: Радиусы дуг равны примерно 2917 м.