Номер 722, страница 213 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

722. *Определите полную энергию протона, движущегося со скоростью, модуль которой $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

Дано:

Скорость протона $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$

Масса покоя протона (табличное значение) $m_p \approx 1.672 \times 10^{-27}$ кг

Скорость света в вакууме (фундаментальная константа) $c \approx 3 \times 10^8$ м/с

Найти:

Полную энергию протона $E$.

Решение:

Полная энергия релятивистской частицы (частицы, движущейся со скоростью, близкой к скорости света) определяется формулой Эйнштейна из специальной теории относительности:

$E = \frac{m_0 c^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

где $m_0$ — масса покоя частицы, $v$ — ее скорость, $c$ — скорость света в вакууме.

Для протона $m_0 = m_p$.

Сначала вычислим отношение квадрата скорости протона к квадрату скорости света, используя данное в условии значение $v$:

$\frac{v^2}{c^2} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2}c)^2}{c^2} = \frac{\frac{3}{4}c^2}{c^2} = \frac{3}{4}$

Теперь подставим это значение в знаменатель формулы для полной энергии, чтобы найти значение корня:

$\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Теперь мы можем рассчитать полную энергию протона, подставив найденное значение знаменателя в исходную формулу:

$E = \frac{m_p c^2}{\frac{1}{2}} = 2 m_p c^2$

Выражение $E_0 = m_p c^2$ представляет собой энергию покоя протона. Таким образом, полная энергия протона, движущегося с заданной скоростью, в два раза превышает его энергию покоя.

Теперь вычислим численное значение этой энергии, используя табличные значения массы протона и скорости света:

$E = 2 \times (1.672 \times 10^{-27} \text{ кг}) \times (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2$

$E = 2 \times 1.672 \times 10^{-27} \times 9 \times 10^{16} \text{ Дж}$

$E = 30.096 \times 10^{-11} \text{ Дж} \approx 3.01 \times 10^{-10} \text{ Дж}$

Ответ: полная энергия протона равна $3.01 \times 10^{-10}$ Дж.