Номер 729, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

729. *Ракета массой $m$ после ускорения из состояния покоя до релятивистской скорости приобрела кинетическую энергию $E_k$. Во сколько раз сократился ее продольный размер в неподвижной системе отсчета?

Дано:

Масса покоя ракеты: $m$

Кинетическая энергия ракеты: $E_к$

Найти:

Отношение начального размера к конечному: $\frac{L_0}{L}$

Решение:

Релятивистская кинетическая энергия $E_к$ тела с массой покоя $m$, движущегося со скоростью $v$, определяется как разность между его полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$:

$E_к = E - E_0$

Полная релятивистская энергия и энергия покоя выражаются следующими формулами:

$E = \gamma mc^2$

$E_0 = mc^2$

Здесь $c$ — скорость света в вакууме, а $\gamma$ — лоренц-фактор, который определяется как $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$.

Подставим выражения для $E$ и $E_0$ в формулу для кинетической энергии:

$E_к = \gamma mc^2 - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2$

Из этого соотношения мы можем выразить лоренц-фактор $\gamma$:

$\frac{E_к}{mc^2} = \gamma - 1$

$\gamma = 1 + \frac{E_к}{mc^2}$

Сокращение продольного размера объекта (лоренцево сокращение) при движении на релятивистской скорости описывается формулой:

$L = \frac{L_0}{\gamma}$

где $L_0$ — собственная длина объекта (его длина в системе отсчета, связанной с ним), а $L$ — его длина, измеряемая в неподвижной системе отсчета.

Чтобы найти, во сколько раз сократился продольный размер ракеты, нужно найти отношение $\frac{L_0}{L}$. Из формулы лоренцева сокращения получаем:

$\frac{L_0}{L} = \gamma$

Следовательно, искомое отношение равно выражению для лоренц-фактора, которое мы нашли ранее:

$\frac{L_0}{L} = 1 + \frac{E_к}{mc^2}$

Ответ: продольный размер ракеты сократился в $1 + \frac{E_к}{mc^2}$ раз.