Номер 734, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

734. *Электрон, кинетическая энергия которого составляет $\alpha = 0,25$ его энергии покоя, влетает в однородное магнитное поле и движется в нем по дуге окружности.

Определите радиус окружности, если модуль индукции магнитного поля $B = 12,8 \text{ мТл}$.

Дано:

Отношение кинетической энергии электрона к его энергии покоя: $\alpha = 0,25$
Модуль индукции магнитного поля: $B = 12,8 \text{ мТл}$

Перевод в СИ:
$B = 12,8 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Справочные данные:
Масса покоя электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$
Модуль заряда электрона $|e| \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
Скорость света в вакууме $c \approx 3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

$R$

Решение:

Поскольку кинетическая энергия электрона $K$ составляет значительную часть ($\alpha = 0,25$) его энергии покоя $E_0$, для решения задачи необходимо использовать формулы специальной теории относительности.

Энергия покоя электрона определяется формулой $E_0 = m_e c^2$. Кинетическая энергия, по условию, равна $K = \alpha E_0$.

Полная релятивистская энергия электрона $E$ является суммой энергии покоя и кинетической энергии: $E = E_0 + K = E_0 + \alpha E_0 = (1 + \alpha) E_0$.

Связь между полной энергией $E$, импульсом $p$ и энергией покоя $E_0$ дается основным релятивистским соотношением: $E^2 = (pc)^2 + E_0^2$.

Выразим из этого соотношения импульс электрона $p$:
$(pc)^2 = E^2 - E_0^2 = ((1 + \alpha)E_0)^2 - E_0^2 = ((1+\alpha)^2 - 1)E_0^2$
$(pc)^2 = (1 + 2\alpha + \alpha^2 - 1)E_0^2 = (2\alpha + \alpha^2)E_0^2$
$p = \frac{E_0}{c} \sqrt{2\alpha + \alpha^2} = \frac{m_e c^2}{c} \sqrt{2\alpha + \alpha^2} = m_e c \sqrt{2\alpha + \alpha^2}$.

При движении заряженной частицы в однородном магнитном поле (предполагается, что вектор скорости перпендикулярен вектору магнитной индукции), на нее действует сила Лоренца, которая является центростремительной силой и заставляет частицу двигаться по окружности. Радиус $R$ этой окружности определяется из условия $F_Л = F_{ц}$, где в релятивистском случае импульс $p = \gamma m v$:
$|e|vB = \frac{\gamma m_e v^2}{R} = \frac{pv}{R}$
Отсюда $R = \frac{p}{|e|B}$.

Подставим полученное выражение для импульса: $R = \frac{m_e c \sqrt{2\alpha + \alpha^2}}{|e|B}$.

Произведем вычисления, подставив числовые значения. Сначала вычислим значение подкоренного выражения: $\sqrt{2\alpha + \alpha^2} = \sqrt{2 \cdot 0,25 + 0,25^2} = \sqrt{0,5 + 0,0625} = \sqrt{0,5625} = 0,75$.

Теперь подставим все числовые значения в формулу для радиуса: $R = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3,00 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \cdot 0,75}{(1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (12,8 \cdot 10^{-3} \text{ Тл})}$.

$R = \frac{2,04975 \cdot 10^{-22}}{2,05056 \cdot 10^{-21}} \text{ м} \approx 0,09996 \text{ м}$.

Округляя результат, получаем: $R \approx 0,10 \text{ м}$.

Ответ: $R \approx 0,10$ м.