Номер 736, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

736. *Модуль скорости протона, ускоренного из состояния покоя в электростатическом поле, $v = 0,6c$. Определите разность потенциалов, пройденную протоном в поле.

Дано:

Скорость протона, $v = 0,6c$

Начальная скорость протона, $v_0 = 0$ (из состояния покоя)

Заряд протона, $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса покоя протона, $m_p \approx 1,672 \cdot 10^{-27}$ кг

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Найти:

Разность потенциалов, $\Delta\phi$

Решение:

Согласно теореме о кинетической энергии, работа $A$, совершённая электростатическим полем, равна изменению кинетической энергии протона $\Delta K$.

$A = \Delta K$

Работа электростатического поля вычисляется по формуле:

$A = e\Delta\phi$

Поскольку начальная скорость протона равна нулю, его начальная кинетическая энергия $K_0 = 0$. Следовательно, изменение кинетической энергии равно его конечной кинетической энергии $K$.

$\Delta K = K - K_0 = K$

Скорость протона ($v = 0,6c$) является релятивистской, поэтому для вычисления его кинетической энергии необходимо использовать формулу из специальной теории относительности:

$K = (\gamma - 1)m_p c^2$

где $m_p c^2$ — энергия покоя протона, а $\gamma$ — лоренц-фактор, определяемый как:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Приравнивая выражения для работы и кинетической энергии, получаем:

$e\Delta\phi = (\gamma - 1)m_p c^2$

Отсюда можно выразить искомую разность потенциалов $\Delta\phi$:

$\Delta\phi = \frac{(\gamma - 1)m_p c^2}{e}$

Вычислим значение лоренц-фактора для скорости $v = 0,6c$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{(0,6c)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25$

Теперь подставим все известные значения в формулу для разности потенциалов:

$\Delta\phi = \frac{(1,25 - 1) \cdot (1,672 \cdot 10^{-27} \text{ кг}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}$

$\Delta\phi = \frac{0,25 \cdot 1,672 \cdot 10^{-27} \cdot 9 \cdot 10^{16}}{1,602 \cdot 10^{-19}} \text{ В}$

$\Delta\phi = \frac{3,762 \cdot 10^{-11}}{1,602 \cdot 10^{-19}} \text{ В} \approx 2,348 \cdot 10^8 \text{ В}$

Переведем результат в мегавольты (МВ):

$2,348 \cdot 10^8 \text{ В} = 234,8 \cdot 10^6 \text{ В} \approx 235 \text{ МВ}$

Ответ: разность потенциалов, пройденная протоном, составляет примерно $235 \text{ МВ}$.