Номер 739, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

739. *Электрон из состояния покоя разогнался до релятивистской скорости в однородном электростатическом поле, модуль напряженности которого $E$. Определите конечную скорость электрона, если время разгона $t$.

Дано:

Начальная скорость электрона $v_0 = 0$ (состояние покоя)

Модуль напряженности однородного электростатического поля $E$

Время разгона $t$

Заряд электрона по модулю $e$

Масса покоя электрона $m_0$

Скорость света в вакууме $c$

Найти:

Конечную скорость электрона $v$.

Решение:

Поскольку скорость электрона становится релятивистской, для описания его движения необходимо использовать законы специальной теории относительности. Второй закон Ньютона в релятивистской форме записывается как:

$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$

где $\vec{F}$ – сила, действующая на частицу, а $\vec{p}$ – ее релятивистский импульс.

В однородном электростатическом поле на электрон действует постоянная по модулю и направлению сила Кулона:

$F = eE$

Так как сила постоянна, а начальная скорость равна нулю, движение будет прямолинейным. Проинтегрируем релятивистское уравнение движения по времени от $0$ до $t$, чтобы найти изменение импульса. В проекции на направление движения:

$\Delta p = p - p_0 = \int_0^t F dt$

Поскольку сила $F$ постоянна, а начальный импульс $p_0 = 0$ (так как электрон изначально находился в состоянии покоя), конечное значение импульса будет равно:

$p = F \cdot t = eEt$

Релятивистский импульс частицы с массой покоя $m_0$, движущейся со скоростью $v$, определяется формулой:

$p = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Приравняем два полученных выражения для импульса:

$eEt = \frac{m_0 v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Теперь необходимо выразить скорость $v$ из этого уравнения. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(eEt)^2 = \frac{m_0^2 v^2}{1 - v^2/c^2}$

Умножим обе части на знаменатель $(1 - v^2/c^2)$:

$(eEt)^2 (1 - \frac{v^2}{c^2}) = m_0^2 v^2$

Раскроем скобки в левой части:

$(eEt)^2 - \frac{(eEt)^2 v^2}{c^2} = m_0^2 v^2$

Сгруппируем все слагаемые, содержащие $v^2$, в правой части:

$(eEt)^2 = m_0^2 v^2 + \frac{(eEt)^2 v^2}{c^2}$

Вынесем $v^2$ за скобки:

$(eEt)^2 = v^2 (m_0^2 + \frac{(eEt)^2}{c^2})$

Выразим $v^2$:

$v^2 = \frac{(eEt)^2}{m_0^2 + \frac{(eEt)^2}{c^2}}$

Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель на $c^2$:

$v^2 = \frac{(eEt)^2 c^2}{m_0^2 c^2 + (eEt)^2}$

Наконец, извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем итоговое выражение для конечной скорости электрона:

$v = \frac{eEtc}{\sqrt{m_0^2 c^2 + (eEt)^2}}$

Данную формулу можно представить и в другом, эквивалентном виде:

$v = \frac{c}{\sqrt{1 + (\frac{m_0 c}{eEt})^2}}$

Ответ: $v = \frac{eEtc}{\sqrt{m_0^2 c^2 + (eEt)^2}}$