Номер 738, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

738. *Электрон, ускоренный электростатическим полем из состояния покоя, приобрел скорость, при которой его полная энергия стала равна удвоенной энергии покоя. Определите разность потенциалов, которую прошел электрон.

Дано:

Электрон ускоряется из состояния покоя, $v_0 = 0$ м/с.

Конечная полная энергия электрона $E$ равна удвоенной энергии покоя $E_0$: $E = 2E_0$.

Масса покоя электрона $m_0 \approx 9.11 \times 10^{-31}$ кг.

Элементарный заряд (модуль заряда электрона) $e \approx 1.6 \times 10^{-19}$ Кл.

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8$ м/с.

Найти:

Разность потенциалов $U$, которую прошел электрон.

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, работа $A$, совершенная электростатическим полем над электроном, идет на увеличение его кинетической энергии $\Delta K$.

$A = \Delta K$

Работа электростатического поля при перемещении заряда $e$ через разность потенциалов $U$ равна:

$A = eU$

Изменение кинетической энергии равно разности конечной $K$ и начальной $K_0$ кинетических энергий:

$\Delta K = K - K_0$

Так как электрон начинает движение из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия $K_0 = 0$. Следовательно, $\Delta K = K$.

Таким образом, $eU = K$.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между ее полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$:

$K = E - E_0$

По условию задачи, полная энергия электрона стала равна удвоенной энергии покоя:

$E = 2E_0$

Подставив это соотношение в формулу для кинетической энергии, получаем:

$K = 2E_0 - E_0 = E_0$

Энергия покоя $E_0$ вычисляется по формуле Эйнштейна:

$E_0 = m_0 c^2$

Следовательно, кинетическая энергия, приобретенная электроном, равна его энергии покоя: $K = m_0 c^2$.

Теперь мы можем приравнять выражения для работы поля и кинетической энергии:

$eU = m_0 c^2$

Из этого уравнения выразим искомую разность потенциалов $U$:

$U = \frac{m_0 c^2}{e}$

Подставим числовые значения констант и произведем вычисления:

$U = \frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2}{1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \cdot 9 \times 10^{16}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ В}$

$U = \frac{81.99 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-19}} \text{ В} \approx 51.24 \times 10^4 \text{ В} \approx 5.12 \times 10^5 \text{ В}$

Результат можно также представить в киловольтах: $512$ кВ.

Ответ: разность потенциалов, которую прошел электрон, равна примерно $5.12 \times 10^5$ В.