Номер 733, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

733. *Определите работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость релятивистской частицы массой $m$ от $0,60c$ до $0,80c$. Сравните полученный результат со значением, вычисленным по формуле классической физики.

Дано:

масса покоя частицы: $m$
начальная скорость: $v_1 = 0,60c$
конечная скорость: $v_2 = 0,80c$
$c$ - скорость света в вакууме

Найти:

Работу $A_{рел}$
Отношение $\frac{A_{рел}}{A_{кл}}$

Решение:

Определение работы для релятивистской частицы

По теореме о кинетической энергии, работа, совершаемая над частицей, равна изменению ее кинетической энергии. В релятивистской механике кинетическая энергия $E_k$ частицы с массой покоя $m$, движущейся со скоростью $v$, определяется формулой:
$E_k = (\gamma - 1)mc^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца.

Работа $A_{рел}$ равна разности кинетических энергий в конечном ($E_{k2}$) и начальном ($E_{k1}$) состояниях:
$A_{рел} = E_{k2} - E_{k1} = (\gamma_2 - 1)mc^2 - (\gamma_1 - 1)mc^2 = (\gamma_2 - \gamma_1)mc^2$.

Вычислим значения фактора Лоренца для начальной и конечной скоростей.
Для начальной скорости $v_1 = 0,60c$:
$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,60c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,36}} = \frac{1}{\sqrt{0,64}} = \frac{1}{0,8} = 1,25$.
Для конечной скорости $v_2 = 0,80c$:
$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,80c)^2/c^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,64}} = \frac{1}{\sqrt{0,36}} = \frac{1}{0,6} = \frac{5}{3}$.

Теперь найдем работу, подставив значения $\gamma_1$ и $\gamma_2$:
$A_{рел} = (\frac{5}{3} - 1,25)mc^2 = (\frac{5}{3} - \frac{5}{4})mc^2 = (\frac{20 - 15}{12})mc^2 = \frac{5}{12}mc^2$.
В десятичном виде $A_{рел} \approx 0,417mc^2$.

Ответ: Работа, которую надо совершить для увеличения скорости релятивистской частицы, равна $A_{рел} = \frac{5}{12}mc^2$.

Сравнение полученного результата со значением, вычисленным по формуле классической физики

В классической механике кинетическая энергия вычисляется по формуле $E_{k} = \frac{1}{2}mv^2$. Работа $A_{кл}$ по увеличению скорости частицы равна изменению ее классической кинетической энергии:
$A_{кл} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$.

Подставим значения скоростей:
$A_{кл} = \frac{m}{2}((0,80c)^2 - (0,60c)^2) = \frac{m}{2}(0,64c^2 - 0,36c^2) = \frac{m}{2}(0,28c^2) = 0,14mc^2$.

Теперь сравним релятивистское и классическое значения работы, найдя их отношение:
$\frac{A_{рел}}{A_{кл}} = \frac{\frac{5}{12}mc^2}{0,14mc^2} = \frac{5/12}{14/100} = \frac{5}{12} \cdot \frac{100}{14} = \frac{5 \cdot 25}{3 \cdot 14} = \frac{125}{42} \approx 2,98$.

Ответ: Работа, вычисленная с учетом релятивистских эффектов, в $\frac{125}{42} \approx 2,98$ раза больше работы, вычисленной по классической формуле.