Номер 732, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

732. *

Масса $\pi$-мезона $m = 2,5 \cdot 10^{-28}$ кг. Его собственное время жизни $t_0 = 26$ нс. Определите время жизни $\pi$-мезона в системе отсчета, в которой полная энергия мезона $E = 9,6 \cdot 10^{-10}$ Дж.

Дано:

Масса покоя $\pi$-мезона, $m = 2,5 \cdot 10^{-28}$ кг

Собственное время жизни, $t_0 = 26 \text{ нс} = 26 \cdot 10^{-9} \text{ с}$

Полная энергия, $E = 9,6 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Найти:

Время жизни $\pi$-мезона в указанной системе отсчета, $t$.

Решение:

Согласно специальной теории относительности, время жизни частицы в системе отсчета, где она движется ($t$), связано с ее собственным временем жизни ($t_0$) через релятивистское замедление времени. Эта связь выражается формулой:

$t = \gamma t_0$

где $\gamma$ — фактор Лоренца.

Полная энергия релятивистской частицы $E$ связана с ее массой покоя $m$ и скоростью света $c$ следующим соотношением:

$E = \gamma mc^2$

Здесь $E_0 = mc^2$ представляет собой энергию покоя частицы. Из этого выражения мы можем найти фактор Лоренца $\gamma$:

$\gamma = \frac{E}{mc^2}$

Теперь мы можем подставить это выражение для $\gamma$ в формулу для времени жизни $t$:

$t = \frac{E}{mc^2} t_0$

Выполним вычисления. Сначала найдем энергию покоя $\pi$-мезона:

$E_0 = mc^2 = 2,5 \cdot 10^{-28} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 = 2,5 \cdot 10^{-28} \cdot 9 \cdot 10^{16} \text{ Дж} = 22,5 \cdot 10^{-12} \text{ Дж} = 2,25 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$.

Далее, рассчитаем фактор Лоренца:

$\gamma = \frac{E}{E_0} = \frac{9,6 \cdot 10^{-10} \text{ Дж}}{2,25 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}} = \frac{96}{2,25} \approx 42,67$.

Наконец, определим время жизни $\pi$-мезона в данной системе отсчета:

$t = \gamma t_0 \approx 42,67 \cdot 26 \cdot 10^{-9} \text{ с} \approx 1109,4 \cdot 10^{-9} \text{ с}$.

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$t \approx 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ с}$, что равно $1,1 \text{ мкс}$.

Ответ: время жизни $\pi$-мезона в данной системе отсчета составляет приблизительно $1,1 \cdot 10^{-6} \text{ с}$.