Номер 737, страница 215 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

737. *Электрон из состояния покоя разогнался в электрическом поле, пройдя разность потенциалов $U = 500 \text{ кВ}$. Определите модуль скорости, которую приобрел электрон.

Дано:

Начальная скорость электрона $v_0 = 0$

Разность потенциалов $U = 500$ кВ

Заряд электрона $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса покоя электрона $m_e \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг

Скорость света в вакууме $c \approx 3 \cdot 10^{8}$ м/с

$U = 500 \text{ кВ} = 500 \cdot 10^3 \text{ В} = 5 \cdot 10^5 \text{ В}$

Найти:

$v$ - ?

Решение:

По теореме о кинетической энергии, работа, совершаемая электрическим полем над электроном, идет на увеличение его кинетической энергии. Так как электрон начинает движение из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия равна нулю.

$A = \Delta K = K - K_0 = K$

Работа электрического поля по перемещению заряда $e$ через разность потенциалов $U$ определяется формулой:

$A = eU$

Следовательно, кинетическая энергия, которую приобретает электрон, равна:

$K = eU$

Вычислим эту энергию:

$K = 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 5 \cdot 10^5 \text{ В} \approx 8,01 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Теперь оценим, нужно ли использовать релятивистскую механику. Для этого сравним полученную кинетическую энергию с энергией покоя электрона $E_0 = m_e c^2$.

$E_0 = 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2 \approx 8,2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}$

Так как кинетическая энергия электрона ($K \approx 8,01 \cdot 10^{-14}$ Дж) сопоставима с его энергией покоя ($E_0 \approx 8,2 \cdot 10^{-14}$ Дж), скорость электрона будет близка к скорости света, и для её вычисления необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:

$K = (\gamma - 1)m_e c^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ - фактор Лоренца.

Приравняем два выражения для кинетической энергии:

$eU = \left(\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1\right)m_e c^2$

Выразим из этого уравнения скорость $v$.

$\frac{eU}{m_e c^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - 1$

$1 + \frac{eU}{m_e c^2} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

$\sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{1}{1 + \frac{eU}{m_e c^2}}$

$1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{m_e c^2}}\right)^2$

$\frac{v^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{m_e c^2}}\right)^2$

$v = c \sqrt{1 - \left(\frac{1}{1 + \frac{eU}{m_e c^2}}\right)^2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{eU}{m_e c^2} = \frac{8,01 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}}{8,2 \cdot 10^{-14} \text{ Дж}} \approx 0,977$

$v \approx 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{1 + 0,977}\right)^2} = 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{1}{1,977}\right)^2}$

$v \approx 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1 - (0,5058)^2} \approx 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{1 - 0,2558}$

$v \approx 3 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{0,7442} \approx 3 \cdot 10^8 \cdot 0,8627$

$v \approx 2,588 \cdot 10^8$ м/с.

Округлим до трех значащих цифр.

Ответ: $v \approx 2,59 \cdot 10^8$ м/с.