Номер 731, страница 214 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

731. *Определите модуль импульса электрона, если кинетическая энергия электрона составляет $\alpha = 50 \, \%$ его энергии покоя.

Дано:

$E_k = \alpha \cdot E_0$

$\alpha = 50\%$

Перевод в систему СИ и справочные данные:

$\alpha = 0.5$

$m_0 \approx 9.11 \cdot 10^{-31}$ кг (масса покоя электрона)

$c \approx 3.00 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Найти:

$p$ — модуль импульса электрона.

Решение:

В релятивистской механике кинетическая энергия $E_k$ частицы определяется как разность между ее полной энергией $E$ и энергией покоя $E_0$:

$E_k = E - E_0$

Энергия покоя вычисляется по формуле Эйнштейна:

$E_0 = m_0c^2$

По условию задачи, кинетическая энергия электрона составляет 50% от его энергии покоя:

$E_k = 0.5 \cdot E_0$

Подставим это выражение в формулу для кинетической энергии, чтобы найти полную энергию электрона:

$0.5 E_0 = E - E_0$

Отсюда выразим полную энергию $E$:

$E = E_0 + 0.5 E_0 = 1.5 E_0$

Связь между полной энергией, импульсом $p$ и энергией покоя частицы дается основным релятивистским соотношением:

$E^2 = (pc)^2 + E_0^2$

Подставим в это соотношение найденное значение полной энергии $E = 1.5 E_0$:

$(1.5 E_0)^2 = (pc)^2 + E_0^2$

Выполним преобразования, чтобы выразить импульс:

$2.25 E_0^2 = (pc)^2 + E_0^2$

$(pc)^2 = 2.25 E_0^2 - E_0^2 = 1.25 E_0^2$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

$pc = \sqrt{1.25} E_0$

Теперь выразим искомый импульс $p$:

$p = \frac{\sqrt{1.25} E_0}{c}$

Подставим выражение для энергии покоя $E_0 = m_0c^2$:

$p = \frac{\sqrt{1.25} m_0c^2}{c} = \sqrt{1.25} m_0c$

Осталось подставить числовые значения и выполнить расчет. Учитывая, что $\sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$:

$p \approx 1.118 \cdot (9.11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (3.00 \cdot 10^8 \text{ м/с}) \approx 3.056 \cdot 10^{-22}$ кг·м/с.

Округлив результат до трех значащих цифр, получаем:

$p \approx 3.06 \cdot 10^{-22}$ кг·м/с.

Ответ: модуль импульса электрона составляет $p \approx 3.06 \cdot 10^{-22}$ кг·м/с.