Номер 938, страница 267 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

938. Определите энергию (в Дж), которая выделится при образовании из протонов и нейтронов одного моля гелия $_{2}^{4} \text{He}$.

Дано:

Количество вещества гелия, $\nu = 1$ моль
Изотоп гелия, $_2^4\text{He}$
Масса протона, $m_p \approx 1.007276$ а.е.м.
Масса нейтрона, $m_n \approx 1.008665$ а.е.м.
Масса ядра гелия-4, $m_{я} \approx 4.001506$ а.е.м.
Атомная единица массы, $1 \text{ а.е.м.} \approx 1.66054 \times 10^{-27}$ кг
Скорость света в вакууме, $c = 3 \times 10^8$ м/с
Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6.022 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$

В системе СИ:
$m_p \approx 1.007276 \cdot 1.66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1.67262 \times 10^{-27}$ кг
$m_n \approx 1.008665 \cdot 1.66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 1.67493 \times 10^{-27}$ кг
$m_{я} \approx 4.001506 \cdot 1.66054 \times 10^{-27} \text{ кг} \approx 6.64466 \times 10^{-27}$ кг

Найти:

$E$ - ?

Решение:

Энергия, которая выделяется при образовании ядра из составляющих его нуклонов (протонов и нейтронов), называется энергией связи. Эта энергия эквивалентна дефекту масс ядра согласно знаменитой формуле Эйнштейна $E = \Delta m c^2$.

1. Определим состав ядра гелия $_2^4\text{He}$.
Нижний индекс (зарядовое число) $Z=2$ показывает, что в ядре находятся 2 протона.
Верхний индекс (массовое число) $A=4$ показывает общее число нуклонов в ядре.
Число нейтронов $N$ можно найти как разность массового и зарядового чисел: $N = A - Z = 4 - 2 = 2$.
Следовательно, ядро гелия $_2^4\text{He}$ состоит из двух протонов и двух нейтронов.

2. Рассчитаем дефект масс $\Delta m$ для одного ядра гелия. Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов, из которых состоит ядро, и массой самого ядра. Для удобства вычислений сначала найдем дефект масс в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем переведем в килограммы.
$\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{я}$
$\Delta m = (2 \cdot 1.007276 \text{ а.е.м.} + 2 \cdot 1.008665 \text{ а.е.м.}) - 4.001506 \text{ а.е.м.}$
$\Delta m = (2.014552 + 2.017330) \text{ а.е.м.} - 4.001506 \text{ а.е.м.}$
$\Delta m = 4.031882 \text{ а.е.м.} - 4.001506 \text{ а.е.м.} = 0.030376$ а.е.м.

3. Найдем энергию связи $E_{св}$ одного ядра. Для этого переведем дефект масс из а.е.м. в единицы СИ (килограммы).
$\Delta m_{кг} = 0.030376 \text{ а.е.м.} \cdot 1.66054 \times 10^{-27} \frac{\text{кг}}{\text{а.е.м.}} \approx 5.0442 \times 10^{-29}$ кг.
Теперь рассчитаем энергию, выделяемую при образовании одного ядра, по формуле $E = \Delta m c^2$:
$E_{св} = \Delta m_{кг} \cdot c^2 = 5.0442 \times 10^{-29} \text{ кг} \cdot (3 \times 10^8 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2$
$E_{св} = 5.0442 \times 10^{-29} \cdot 9 \times 10^{16} \text{ Дж} \approx 4.5398 \times 10^{-12}$ Дж.

4. В задаче требуется найти общую энергию, выделяемую при образовании одного моля гелия. Один моль вещества содержит число ядер, равное постоянной Авогадро $N_A$.
Чтобы найти полную энергию $E$, нужно энергию связи одного ядра умножить на постоянную Авогадро:
$E = E_{св} \cdot N_A$
$E = 4.5398 \times 10^{-12} \text{ Дж/ядро} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ ядер/моль}$
$E \approx 2.7338 \times 10^{12}$ Дж.

Округлив результат до трёх значащих цифр, получаем итоговый ответ.

Ответ: $2.73 \times 10^{12}$ Дж.