Номер 939, страница 267 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

939. Определите, сколько фотонов с частотой $\nu = 5 \cdot 10^{15}$ Гц должен излучить лазер, чтобы их суммарная энергия была равна энергии, необходимой для расщепления на нуклоны всех ядер алюминия $_{13}^{27}\text{Al}$ в алюминиевом проводе объемом $V = 6 \text{ см}^3$.

Дано:

Частота фотонов, $v = 5 \cdot 10^{15}$ Гц
Объем алюминиевого провода, $V = 6$ см³
Изотоп алюминия: $_{13}^{27}\text{Al}$
Постоянная Планка, $h \approx 6,626 \cdot 10^{-34}$ Дж·с
Число Авогадро, $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹
Плотность алюминия, $\rho \approx 2700$ кг/м³
Молярная масса алюминия, $M \approx 27 \cdot 10^{-3}$ кг/моль
Масса протона, $m_p \approx 1,00728$ а.е.м.
Масса нейтрона, $m_n \approx 1,00866$ а.е.м.
Масса атома алюминия $_{13}^{27}\text{Al}$, $m_a \approx 26,98154$ а.е.м.
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с
Энергетический эквивалент 1 а.е.м., $1 \text{ а.е.м.} \cdot c^2 \approx 931,5$ МэВ
$1 \text{ МэВ} = 1,6 \cdot 10^{-13}$ Дж

Перевод в систему СИ:
$V = 6 \text{ см}^3 = 6 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3$

Найти:

Число фотонов $n_{ф}$

Решение:

Суммарная энергия фотонов $E_{сум}$ должна быть равна энергии, необходимой для расщепления всех ядер алюминия на нуклоны. Эта энергия равна суммарной энергии связи всех ядер $E_{св. сум}$.

Энергия одного фотона вычисляется по формуле Планка: $E_{ф} = h \cdot v$

Тогда искомое число фотонов равно: $n_{ф} = \frac{E_{св. сум}}{E_{ф}}$

1. Найдем энергию одного фотона: $E_{ф} = 6,626 \cdot 10^{-34} \text{ Дж·с} \cdot 5 \cdot 10^{15} \text{ Гц} = 3,313 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

2. Найдем суммарную энергию связи всех ядер. Она равна произведению числа ядер $N$ на энергию связи одного ядра $E_{св. я}$: $E_{св. сум} = N \cdot E_{св. я}$

3. Вычислим количество ядер алюминия $N$ в данном объеме. Сначала найдем массу алюминия: $m = \rho \cdot V = 2700 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 6 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0,0162 \text{ кг}$

Число ядер (атомов) найдем по формуле: $N = \frac{m}{M} \cdot N_A = \frac{0,0162 \text{ кг}}{27 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 0,6 \cdot 6,022 \cdot 10^{23} = 3,6132 \cdot 10^{23}$ ядер.

4. Рассчитаем энергию связи одного ядра алюминия $_{13}^{27}\text{Al}$. Ядро состоит из $Z=13$ протонов и $N = A - Z = 27 - 13 = 14$ нейтронов.

Энергия связи определяется дефектом масс $\Delta m$: $E_{св. я} = \Delta m \cdot c^2$

Дефект масс — это разность между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра: $\Delta m = (Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_я$

Так как в справочниках обычно приводится масса атома, а не ядра, удобнее выразить дефект масс через массы атомов. Масса ядра $m_я$ связана с массой атома $m_a$ соотношением $m_я = m_a - Z \cdot m_e$ (где $m_e$ - масса электрона). Массу протона $m_p$ можно приближенно заменить массой атома водорода $m_H \approx m_p + m_e$. Тогда: $\Delta m = (Z \cdot m_H + N \cdot m_n) - m_a$ Масса атома водорода $m_H \approx 1,00783$ а.е.м.

Используя более точные значения масс протона и нейтрона и вычисляя массу ядра, получаем: Суммарная масса нуклонов: $Z \cdot m_p + N \cdot m_n = 13 \cdot 1,00728 \text{ а.е.м.} + 14 \cdot 1,00866 \text{ а.е.м.} = 13,09464 + 14,12124 = 27,21588 \text{ а.е.м.}$

Для вычисления массы ядра из массы атома вычтем массу 13 электронов ($m_e \approx 0,00055$ а.е.м.): $m_я = m_a - Z \cdot m_e = 26,98154 - 13 \cdot 0,00055 = 26,98154 - 0,00715 = 26,97439 \text{ а.е.м.}$

Дефект масс: $\Delta m = 27,21588 - 26,97439 = 0,24149 \text{ а.е.м.}$

Энергия связи одного ядра в МэВ: $E_{св. я} = 0,24149 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 224,94 \text{ МэВ}$

Переведем энергию связи в джоули: $E_{св. я} = 224,94 \text{ МэВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-13} \frac{\text{Дж}}{\text{МэВ}} \approx 3,6 \cdot 10^{-11} \text{ Дж}$

5. Найдем суммарную энергию связи всех ядер: $E_{св. сум} = N \cdot E_{св. я} = 3,6132 \cdot 10^{23} \cdot 3,6 \cdot 10^{-11} \text{ Дж} \approx 1,3 \cdot 10^{13} \text{ Дж}$

6. Наконец, найдем число фотонов: $n_{ф} = \frac{E_{св. сум}}{E_{ф}} = \frac{1,3 \cdot 10^{13} \text{ Дж}}{3,313 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}} \approx 0,392 \cdot 10^{31} = 3,92 \cdot 10^{30}$

Ответ: Лазер должен излучить примерно $3,92 \cdot 10^{30}$ фотонов.