Номер 12, страница 24 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

12. Первый раз число округлили сначала до сотен, а затем полученное число — до тысяч; второй раз число округлили сразу до тысяч. Всегда ли полученные результаты совпадают? Определите общее правило.

Всегда ли полученные результаты совпадают?

Нет, результаты последовательного и прямого округления не всегда совпадают. Расхождение возникает, когда первое округление (до сотен) изменяет цифру в разряде сотен таким образом, что это влияет на итоговое округление до тысяч.

Рассмотрим на конкретном примере — числе 7468.

• Первый способ (последовательное округление):
  1. Округляем число 7468 до сотен. Смотрим на разряд десятков, там стоит цифра 6. Поскольку $6 \ge 5$, округляем в большую сторону. Получаем 7500.
  2. Теперь округляем полученное число 7500 до тысяч. Смотрим на разряд сотен, там стоит цифра 5. Поскольку $5 \ge 5$, округляем в большую сторону. Итоговый результат — 8000.
• Второй способ (прямое округление):
  1. Округляем число 7468 сразу до тысяч. Смотрим на разряд сотен, там стоит цифра 4. Поскольку $4 < 5$, округляем в меньшую сторону. Итоговый результат — 7000.

Как мы видим, результаты ($8000$ и $7000$) не совпали.

Ответ: Нет, не всегда.

Определите общее правило.

Разница в результатах округления возникает тогда и только тогда, когда округление до сотен приводит к изменению цифры в разряде сотен с 4 на 5. Это происходит, если для исходного числа одновременно выполняются два условия:

1. Цифра в разряде сотен равна 4.
2. Цифра в разряде десятков равна 5, 6, 7, 8 или 9 (то есть число, образованное десятками и единицами, больше или равно 50).

Объяснение механизма:

Возьмем число, удовлетворяющее этим условиям, например, вида ...X4YZ, где X — любая цифра тысяч, а YZ — число от 50 до 99.

• При последовательном округлении: число ...X4YZ сначала округляется до сотен и становится ...X500. Затем это новое число округляется до тысяч. Так как в разряде сотен теперь стоит 5, округление происходит в большую сторону, и результат будет ...(X+1)000.
• При прямом округлении: в исходном числе ...X4YZ мы смотрим на разряд сотен, где стоит 4. Так как $4 < 5$, округление до тысяч происходит в меньшую сторону, и результат будет ...X000.

Таким образом, результаты ...(X+1)000 и ...X000 всегда будут различны.

Во всех других случаях результаты двух методов округления будут совпадать. Например, если в разряде сотен стоит цифра от 0 до 3, оба метода дадут округление в меньшую сторону. Если же в разряде сотен стоит цифра от 5 до 9, оба метода приведут к округлению в большую сторону.

Ответ: Результаты двух способов округления совпадают всегда, за исключением тех случаев, когда в исходном числе цифра в разряде сотен равна 4, а цифра в разряде десятков — 5 или больше.