Номер 32, страница 30 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

32. Теплоход прошёл за час по течению реки 18 км, а против течения за час — 12 км. Какова скорость движения теплохода в стоячей воде?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_{с}$ — это искомая скорость теплохода в стоячей воде (собственная скорость), а $v_{теч}$ — это скорость течения реки. Обе скорости измеряются в км/ч.

Когда теплоход движется по течению, его скорость $v_{по}$ равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{с} + v_{теч}$. По условию, за 1 час теплоход проходит 18 км, значит, его скорость по течению равна $18$ км/ч. Получаем первое уравнение:
$v_{с} + v_{теч} = 18$

Когда теплоход движется против течения, его скорость $v_{против}$ равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{с} - v_{теч}$. По условию, за 1 час теплоход проходит 12 км, значит, его скорость против течения равна $12$ км/ч. Получаем второе уравнение:
$v_{с} - v_{теч} = 12$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} v_{с} + v_{теч} = 18 \\ v_{с} - v_{теч} = 12 \end{cases}$

Для нахождения собственной скорости теплохода $v_{с}$ сложим оба уравнения. Это позволит исключить неизвестную скорость течения $v_{теч}$.
$(v_{с} + v_{теч}) + (v_{с} - v_{теч}) = 18 + 12$
$2v_{с} = 30$

Разделив обе части на 2, находим $v_{с}$:
$v_{с} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, скорость движения теплохода в стоячей воде составляет 15 км/ч. Стоит отметить, что собственная скорость всегда равна среднему арифметическому скоростей по течению и против течения: $v_{с} = \frac{v_{по} + v_{против}}{2} = \frac{18 + 12}{2} = 15$ км/ч, что подтверждает наш результат.

Ответ: 15 км/ч.