Номер 11, страница 40 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. При делении $200000000$ на $13$ получили несколько цифр числа в неполном частном: $13846153...$ Какой будет следующая цифра в частном? Сколько ещё цифр в частном можно записать, не выполняя деление?

В условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Если разделить $200\,000\,000$ на $13$, то частное будет начинаться с цифр $15384...$, а не $13846...$.

$200 \div 13 = 15$ (остаток $5$)

Однако, если предположить, что в делимом вместо $200\,000\,000$ должно быть число $180\,000\,000$, то частное действительно будет начинаться с указанных цифр:

$180 \div 13 = 13$ (остаток $11$)

$110 \div 13 = 8$ (остаток $6$)

$60 \div 13 = 4$ (остаток $8$)

...и так далее. Последовательность цифр в частном $13846153...$ совпадает с результатом деления $180\,000\,000$ на $13$. Будем решать задачу исходя из этого предположения.

Какой будет следующая цифра в частном?

Продолжим деление в столбик числа $180\,000\,000$ на $13$ с того места, где мы остановились. Нам даны первые 8 цифр частного: $13846153$. Давайте проследим шаги деления и найдем остаток после получения последней известной цифры $3$.

1. $18 \div 13 = 1$ (остаток $5$)
2. $50 \div 13 = 3$ (остаток $11$)
3. $110 \div 13 = 8$ (остаток $6$)
4. $60 \div 13 = 4$ (остаток $8$)
5. $80 \div 13 = 6$ (остаток $2$)
6. $20 \div 13 = 1$ (остаток $7$)
7. $70 \div 13 = 5$ (остаток $5$)
8. $50 \div 13 = 3$ (остаток $11$)

После нахождения восьмой цифры частного ($3$) у нас остался остаток $11$. Чтобы найти следующую цифру, мы "спускаем" следующий ноль из делимого ($180\,000\,000$) и делим получившееся число $110$ на $13$.

$110 \div 13 = 8$ (так как $13 \times 8 = 104$)

Остаток от этого деления будет $110 - 104 = 6$. Таким образом, следующая цифра в частном — это $8$.

Ответ: $8$.

Сколько ещё цифр в частном можно записать, не выполняя деление?

При делении на $13$ последовательность цифр в частном является периодической. Период начинается, когда в процессе деления в столбик повторяется один из предыдущих остатков. Давайте посмотрим на последовательность остатков, которые мы получали:

$5, 11, 6, 8, 2, 7, 5, 11, ...$

Мы видим, что на седьмом шаге остаток $5$ повторился. Это означает, что последовательность цифр в частном, которая следовала за первым остатком $5$, начнет повторяться. Первая цифра частного, $1$, не входит в период. Период начинается со второй цифры, $3$.

Последовательность остатков, образующая цикл: $5 \rightarrow 11 \rightarrow 6 \rightarrow 8 \rightarrow 2 \rightarrow 7$. Длина цикла — $6$ остатков.

Этим остаткам соответствует следующая последовательность цифр в частном (период): $384615$.

Полное частное выглядит так: $1$ (непериодическая часть), за которой следует бесконечно повторяющийся блок $384615$.

$1384615384615...$

Нам даны цифры $13846153...$. Мы уже определили, что следующая цифра — $8$. Таким образом, мы знаем частное $138461538$.

Сравним это с нашей периодической последовательностью: $1 | 384615 | 38...$

Мы видим, что $138461538$ — это цифра $1$, за которой следует полный период $384615$, а затем первые две цифры следующего периода — $38$.

Чтобы завершить второй блок периода ($384615$), нам нужно дописать оставшиеся цифры: $4, 6, 1, 5$.

Следовательно, не выполняя дальнейших вычислений, мы можем записать еще $4$ цифры.

Ответ: $4$.