Номер 8, страница 40 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. Какие остатки могут появиться при делении натурального числа на $4$, на $9$, на $12$?

При делении на 4

При делении любого натурального числа $a$ на натуральное число $d$ (делитель), получается неполное частное $q$ и остаток $r$. Связь между этими числами выражается формулой: $a = d \cdot q + r$. Согласно основному правилу деления с остатком, остаток $r$ всегда является целым неотрицательным числом, которое строго меньше делителя $d$. Это условие записывается в виде неравенства: $0 \le r < d$.

В случае деления на 4, делитель $d = 4$. Следовательно, остаток $r$ должен удовлетворять условию $0 \le r < 4$. Целыми числами, которые удовлетворяют этому неравенству, являются 0, 1, 2 и 3.

Можно показать, что каждое из этих значений может быть получено в качестве остатка при делении натуральных чисел на 4. Например:
При делении 8 на 4 получаем остаток 0 ($8 = 4 \cdot 2 + 0$).
При делении 9 на 4 получаем остаток 1 ($9 = 4 \cdot 2 + 1$).
При делении 10 на 4 получаем остаток 2 ($10 = 4 \cdot 2 + 2$).
При делении 11 на 4 получаем остаток 3 ($11 = 4 \cdot 2 + 3$).

Таким образом, при делении на 4 могут появиться остатки из множества {0, 1, 2, 3}.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

При делении на 9

Аналогично, при делении на 9, делитель $d = 9$. Остаток от деления $r$ должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 9$.

Следовательно, возможными целыми значениями для остатка являются 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Все эти остатки могут быть получены при делении различных натуральных чисел на 9. Например, при делении чисел от 9 до 17 включительно.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

При делении на 12

В этом случае делитель $d = 12$. Остаток $r$ от деления должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 12$.

Следовательно, возможными целыми значениями для остатка являются все целые числа от 0 до 11: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Каждое из этих значений является возможным остатком при делении натуральных чисел на 12.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.