Номер 3, страница 39 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

3. Закончите предложение:

а) Числа при делении с остатком называют делимое, делитель, ... частное и ... .

б) При делении одного числа на другое с остатком остаток всегда меньше ... .

а)

Деление с остатком — это арифметическая операция, в которой для двух целых чисел, делимого ($a$) и делителя ($b$), находятся два других числа: неполное частное ($q$) и остаток ($r$). Все эти четыре числа связаны между собой формулой:

$a = b \cdot q + r$

Компонентами (или числами) при делении с остатком являются:
- Делимое ($a$): число, которое делят.
- Делитель ($b$): число, на которое делят.
- Неполное частное ($q$): основной результат деления, показывающий, сколько раз делитель целиком умещается в делимом.
- Остаток ($r$): часть делимого, которая осталась после того, как из него вычли максимально возможное число целых групп, равных делителю.

В предложении "Числа при делении с остатком называют делимое, делитель, ... частное и ..." пропущены два термина. Перед словом "частное" должно стоять определение "неполное", так как при делении с остатком частное не является полным (точным) результатом. После союза "и" пропущен последний компонент — "остаток".

Таким образом, законченное предложение выглядит так: "Числа при делении с остатком называют делимое, делитель, неполное частное и остаток".

Ответ: неполное частное и остаток.

б)

Это одно из фундаментальных правил деления с остатком. Остаток, получаемый при делении одного натурального числа на другое, всегда должен быть строго меньше делителя. Если мы делим число $a$ на число $b$, то остаток $r$ должен удовлетворять неравенству:

$0 \le r < b$

Это означает, что остаток не может быть отрицательным, и он всегда меньше числа, на которое мы делим.

Почему это так? Если бы остаток был равен делителю или был больше него ($r \ge b$), это означало бы, что деление выполнено не до конца. Мы могли бы "взять" из остатка еще хотя бы одну группу, равную делителю, и таким образом увеличить неполное частное.

Пример: Попытаемся разделить 23 на 4.

Верно: $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Остаток $3$, и он меньше делителя $4$ ($3 < 4$).
Неверно: $23 = 4 \cdot 4 + 7$. Здесь остаток $7$, и он больше делителя $4$ ($7 > 4$). Это означает, что из остатка $7$ можно выделить еще одну четверку, увеличив частное: $23 = 4 \cdot 4 + (4 + 3) = 4 \cdot (4+1) + 3 = 4 \cdot 5 + 3$.

Следовательно, предложение необходимо закончить словом "делителя".

Ответ: делителя.