Номер 9, страница 40 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. Может ли при делении какого-либо числа на 8 получиться остаток: 0, 4, 7, 8, 12?

При делении любого целого числа a (делимое) на натуральное число d (делитель) получается частное q и остаток r. Это можно записать в виде формулы: $a = q \cdot d + r$.

Основное правило для остатка от деления заключается в том, что остаток всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя. То есть, для остатка r должно выполняться неравенство: $0 \le r < d$.

В данном случае мы делим на 8, значит, делитель $d=8$. Следовательно, остаток r должен удовлетворять условию: $0 \le r < 8$.

Это означает, что возможными остатками при делении на 8 могут быть только целые числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

0

Может ли остаток быть равен 0? Проверяем условие: $0 \le 0 < 8$. Неравенство верно. Остаток может быть равен 0. Это происходит, когда число делится на 8 без остатка (нацело). Например, при делении 16 на 8: $16 = 2 \cdot 8 + 0$. Остаток равен 0.
Ответ: да, может.

4

Может ли остаток быть равен 4? Проверяем условие: $0 \le 4 < 8$. Неравенство верно. Остаток может быть равен 4. Например, при делении 12 на 8: $12 = 1 \cdot 8 + 4$. Остаток равен 4.
Ответ: да, может.

7

Может ли остаток быть равен 7? Проверяем условие: $0 \le 7 < 8$. Неравенство верно. Остаток может быть равен 7. Например, при делении 15 на 8: $15 = 1 \cdot 8 + 7$. Остаток равен 7.
Ответ: да, может.

8

Может ли остаток быть равен 8? Проверяем условие: $0 \le 8 < 8$. Неравенство неверно, так как 8 не меньше 8 ($8 \not< 8$). Остаток должен быть строго меньше делителя. Если при делении получается "остаток" 8, это означает, что деление выполнено не до конца, и из этого остатка можно выделить еще одну целую часть делителя. Например, если бы мы получили $a = q \cdot 8 + 8$, то это можно было бы записать как $a = (q+1) \cdot 8 + 0$. То есть правильный остаток в этом случае равен 0.
Ответ: нет, не может.

12

Может ли остаток быть равен 12? Проверяем условие: $0 \le 12 < 8$. Неравенство неверно, так как 12 больше 8 ($12 \not< 8$). Остаток не может быть больше или равен делителю. Если при делении получается "остаток" 12, это означает, что деление выполнено не до конца. Например, если бы мы получили $a = q \cdot 8 + 12$, то 12 можно представить как $8+4$. Тогда $a = q \cdot 8 + (8 + 4) = (q+1) \cdot 8 + 4$. То есть правильный остаток в этом случае равен 4.
Ответ: нет, не может.