Номер 30, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

30. Какие числа называют взаимно простыми? Найдите среди пар чисел взаимно простые:

а) 14 и 24;

б) 14 и 21;

в) 9 и 10.

Два натуральных числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у этих чисел нет общих делителей, кроме единицы.

Для определения, являются ли числа в заданных парах взаимно простыми, найдем для каждой пары их наибольший общий делитель (НОД) путем разложения на простые множители.

а) 14 и 24;

Разложим числа 14 и 24 на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
Находим общие множители. У этих чисел есть общий множитель 2.
Следовательно, НОД(14, 24) = 2.
Поскольку НОД $\neq 1$, числа 14 и 24 не являются взаимно простыми.

Ответ: не являются взаимно простыми.

б) 14 и 21;

Разложим числа 14 и 21 на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
Находим общие множители. У этих чисел есть общий множитель 7.
Следовательно, НОД(14, 21) = 7.
Поскольку НОД $\neq 1$, числа 14 и 21 не являются взаимно простыми.

Ответ: не являются взаимно простыми.

в) 9 и 10.

Разложим числа 9 и 10 на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$10 = 2 \cdot 5$
У чисел 9 и 10 нет общих простых множителей. Их единственный общий делитель — это 1.
Следовательно, НОД(9, 10) = 1.
Поскольку НОД = 1, числа 9 и 10 являются взаимно простыми.

Ответ: являются взаимно простыми.