Номер 35, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

35. Составьте из цифр 2, 7, 9 пары взаимно простых двузначных чисел.

Для решения этой задачи сначала составим все возможные двузначные числа, используя только цифры 2, 7 и 9. Цифры в числе могут повторяться.

Каждое двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. На каждую позицию мы можем поставить одну из трех цифр (2, 7 или 9). Таким образом, общее количество возможных чисел равно $3 \times 3 = 9$.

Выпишем эти числа: 22, 27, 29, 72, 77, 79, 92, 97, 99.

Далее нам нужно составить из этих чисел пары взаимно простых чисел. Взаимно простые числа — это целые числа, у которых наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Это означает, что у них нет общих простых делителей.

Для удобства проверки разложим каждое из наших чисел на простые множители:

• $22 = 2 \times 11$
• $27 = 3^3$
• $29$ — простое число
• $72 = 2^3 \times 3^2$
• $77 = 7 \times 11$
• $79$ — простое число
• $92 = 2^2 \times 23$
• $97$ — простое число
• $99 = 3^2 \times 11$

Теперь будем последовательно проверять все возможные пары чисел, чтобы найти взаимно простые. Два числа взаимно просты, если в их разложениях на простые множители нет одинаковых множителей.

1. Пары с числом 22 ($2 \times 11$)

Ищем числа, которые не делятся ни на 2, ни на 11. Из нашего списка это: 27, 29, 79, 97.
Получаем пары: (22, 27), (22, 29), (22, 79), (22, 97).

2. Пары с числом 27 ($3^3$)

Ищем числа, большие 27, которые не делятся на 3. Это: 29, 77, 79, 92, 97.
Получаем пары: (27, 29), (27, 77), (27, 79), (27, 92), (27, 97).

3. Пары с числом 29 (простое)

Так как 29 — простое число, оно взаимно просто со всеми числами из списка, которые не делятся на 29. Таковыми являются все остальные числа, большие 29: 72, 77, 79, 92, 97, 99.
Получаем пары: (29, 72), (29, 77), (29, 79), (29, 92), (29, 97), (29, 99).

4. Пары с числом 72 ($2^3 \times 3^2$)

Ищем числа, большие 72, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Это: 77, 79, 97.
Получаем пары: (72, 77), (72, 79), (72, 97).

5. Пары с числом 77 ($7 \times 11$)

Ищем числа, большие 77, которые не делятся ни на 7, ни на 11. Это: 79, 92, 97.
Получаем пары: (77, 79), (77, 92), (77, 97).

6. Пары с числом 79 (простое)

Число 79 простое, оно взаимно просто со всеми оставшимися числами, большими 79: 92, 97, 99.
Получаем пары: (79, 92), (79, 97), (79, 99).

7. Пары с числом 92 ($2^2 \times 23$)

Ищем числа, большие 92, которые не делятся ни на 2, ни на 23. Это: 97, 99.
Получаем пары: (92, 97), (92, 99).

8. Пары с числом 97 (простое)

Число 97 простое, оно взаимно просто с последним оставшимся числом 99.
Получаем пару: (97, 99).

Ответ: (22, 27), (22, 29), (22, 79), (22, 97), (27, 29), (27, 77), (27, 79), (27, 92), (27, 97), (29, 72), (29, 77), (29, 79), (29, 92), (29, 97), (29, 99), (72, 77), (72, 79), (72, 97), (77, 79), (77, 92), (77, 97), (79, 92), (79, 97), (79, 99), (92, 97), (92, 99), (97, 99).