Номер 40, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

40. Даны два числа $a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Найдите $\text{НОК}(a; b)$.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Чтобы найти НОК для чисел, представленных в виде произведения простых множителей, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях данных чисел, и перемножить их.

Даны числа:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2$

$b = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$

1. Выберем наибольшую степень для каждого простого множителя, встречающегося в разложениях:

• Для множителя $2$: наибольшая степень - $1$ (встречается в обоих числах как $2^1$).
• Для множителя $3$: наибольшая степень - $1$ (встречается в обоих числах как $3^1$).
• Для множителя $5$: наибольшая степень - $2$ (встречается в числе $a$ как $5^2$).

2. Перемножим эти множители в их наибольших степенях:

$НОК(a; b) = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^2$

3. Вычислим полученное произведение:

$НОК(a; b) = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 6 \cdot 25 = 150$

Также можно заметить, что разложение числа $b$ полностью содержится в разложении числа $a$. Это означает, что число $a$ кратно числу $b$. В таком случае наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них, то есть $a$.

$НОК(a; b) = a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150$

Ответ: $150$