Номер 33, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

33. Определите, есть ли среди представленных чисел простые, и найдите НОД чисел:

а) 17, 19, 31;

б) 17, 34, 40;

в) 42, 60, 90.

а) 17, 19, 31;

Сначала определим, есть ли среди чисел 17, 19 и 31 простые.
Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.
- Число 17 делится только на 1 и на 17. Следовательно, 17 — простое число.
- Число 19 делится только на 1 и на 19. Следовательно, 19 — простое число.
- Число 31 делится только на 1 и на 31. Следовательно, 31 — простое число.
Все представленные числа являются простыми.

Теперь найдем наибольший общий делитель (НОД) этих чисел.
Поскольку числа 17, 19 и 31 являются простыми, у них нет общих делителей, кроме 1.
Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.
НОД(17, 19, 31) = 1.

Ответ: Да, все числа (17, 19, 31) простые. НОД(17, 19, 31) = 1.

б) 17, 34, 40;

Сначала определим, есть ли среди чисел 17, 34 и 40 простые.
- Число 17 делится только на 1 и 17, поэтому оно является простым.
- Число 34 является четным, оно делится на 2 ($34 = 2 \times 17$). Следовательно, 34 — составное число.
- Число 40 делится на 2, 4, 5, 8, 10, 20. Следовательно, 40 — составное число.
Среди представленных чисел есть одно простое число — 17.

Теперь найдем НОД чисел 17, 34 и 40. Для этого разложим их на простые множители:
$17 = 17$ (простое число)
$34 = 2 \times 17$
$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$
Общих простых множителей для всех трех чисел нет. Единственным общим делителем для любого набора чисел всегда является 1.
Следовательно, НОД(17, 34, 40) = 1.

Ответ: Да, число 17 является простым. НОД(17, 34, 40) = 1.

в) 42, 60, 90.

Сначала определим, есть ли среди чисел 42, 60 и 90 простые.
- Число 42 — четное, делится на 2. Является составным.
- Число 60 — оканчивается на 0, делится на 10. Является составным.
- Число 90 — оканчивается на 0, делится на 10. Является составным.
Среди представленных чисел нет простых.

Теперь найдем НОД чисел 42, 60 и 90. Разложим их на простые множители:
$42 = 2 \times 21 = 2 \times 3 \times 7$
$60 = 6 \times 10 = (2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3 \times 5$
$90 = 9 \times 10 = (3 \times 3) \times (2 \times 5) = 2 \times 3^2 \times 5$
Чтобы найти НОД, нужно взять общие простые множители в наименьшей степени.
Общие множители: 2 и 3.
Наименьшая степень для 2 — это $2^1$ (из разложений 42 и 90).
Наименьшая степень для 3 — это $3^1$ (из разложений 42 и 60).
Перемножим их:
НОД(42, 60, 90) = $2^1 \times 3^1 = 6$.

Ответ: Нет, простых чисел среди представленных нет. НОД(42, 60, 90) = 6.