Номер 37, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

37. Составьте из цифр 1, 2, 7 трёхзначные числа, в которых все цифры разные. Найдите их НОД.

Составьте из цифр 1, 2, 7 трёхзначные числа, в которых все цифры разные.

Используя цифры 1, 2 и 7 по одному разу в каждом числе, мы можем составить следующие трёхзначные числа, которые являются всеми возможными перестановками данных цифр:

• Начинающиеся с 1: 127, 172.
• Начинающиеся с 2: 217, 271.
• Начинающиеся с 7: 712, 721.

Всего получается 6 различных чисел.

Ответ: 127, 172, 217, 271, 712, 721.

Найдите их НОД.

Требуется найти наибольший общий делитель (НОД) для полученного ряда чисел: $НОД(127, 172, 217, 271, 712, 721)$.

Рассмотрим наименьшее число из этого ряда — 127 — и проверим, является ли оно простым. Для этого достаточно проверить его делимость на простые числа, не превышающие $\sqrt{127}$.

Так как $11^2=121$ и $12^2=144$, то $\sqrt{127} \approx 11,3$. Проверяем делимость на простые числа: 2, 3, 5, 7, 11.

• Число 127 нечётное, поэтому на 2 не делится.
• Сумма его цифр $1+2+7=10$, не делится на 3, значит и 127 не делится на 3.
• Число не оканчивается на 0 или 5, поэтому на 5 не делится.
• $127 \div 7 = 18$ (остаток 1).
• $127 \div 11 = 11$ (остаток 6).

Поскольку 127 не имеет простых делителей, меньших или равных его квадратному корню, оно является простым числом.

Наибольший общий делитель набора чисел, в который входит простое число, может быть равен только 1 или этому простому числу. Чтобы НОД был равен 127, все остальные числа в наборе должны делиться на 127. Проверим следующее по величине число, 172:

$172 \div 127 = 1$ с остатком 45. Так как 172 не делится на 127 нацело, то НОД всего набора чисел не может быть равен 127.

Следовательно, наибольшим общим делителем для всех этих чисел является 1.

Ответ: 1.