Номер 42, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

42. Разложите числа 18 и 24 на простые множители. Вычислите НОК этих чисел.

Разложение чисел 18 и 24 на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, необходимо последовательно делить его на наименьшие простые числа (2, 3, 5, 7 и т.д.), пока в результате не получится 1.

Разложим число 18:
Первый простой множитель — 2, так как 18 — четное число.
$18 \div 2 = 9$
Число 9 не делится на 2, следующий простой делитель — 3.
$9 \div 3 = 3$
Число 3 — простое, делим его на само себя.
$3 \div 3 = 1$
Таким образом, разложение числа 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.

Разложим число 24:
Первый простой множитель — 2.
$24 \div 2 = 12$
$12 \div 2 = 6$
$6 \div 2 = 3$
Число 3 — простое.
$3 \div 3 = 1$
Таким образом, разложение числа 24 на простые множители: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

Ответ: $18 = 2 \cdot 3^2$; $24 = 2^3 \cdot 3$.

Вычисление НОК этих чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. Чтобы найти НОК на основе разложения на простые множители, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

У нас есть разложения:
$18 = 2^1 \cdot 3^2$
$24 = 2^3 \cdot 3^1$

1. Выбираем множитель 2. Наибольшая степень, в которой он встречается, — 3 (в разложении числа 24). Берем $2^3$.
2. Выбираем множитель 3. Наибольшая степень, в которой он встречается, — 2 (в разложении числа 18). Берем $3^2$.

Теперь перемножаем полученные степени:
$НОК(18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Ответ: 72.