Номер 41, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

41. Представьте числа 9 и 12 в виде произведения простых чисел. Вычислите $ \text{НОК} (9; 12) $.

Представьте числа 9 и 12 в виде произведения простых чисел.

Разложение числа на простые множители — это его представление в виде произведения простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Разложим число 9 на простые множители:
Число 9 делится на наименьшее простое число 3.
$9 \div 3 = 3$
Число 3 также является простым.
Таким образом, разложение числа 9 на простые множители: $9 = 3 \times 3$ или $9 = 3^2$.

Разложим число 12 на простые множители:
Число 12 делится на наименьшее простое число 2.
$12 \div 2 = 6$
Полученное число 6 снова делится на 2.
$6 \div 2 = 3$
Число 3 является простым.
Таким образом, разложение числа 12 на простые множители: $12 = 2 \times 2 \times 3$ или $12 = 2^2 \times 3$.

Ответ: $9 = 3 \times 3$; $12 = 2 \times 2 \times 3$.

Вычислите НОК (9; 12).

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Для нахождения НОК, используя разложения на простые множители, необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

Наши разложения:
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \times 3^1$

Простые множители, которые встречаются в разложениях, — это 2 и 3.
Наибольшая степень для множителя 2 равна 2 (из разложения числа 12: $2^2$).
Наибольшая степень для множителя 3 равна 2 (из разложения числа 9: $3^2$).

Теперь перемножим эти множители в их наибольших степенях:
$НОК(9; 12) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$.

Ответ: $36$.