Номер 34, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

34. Являются ли взаимно простыми числа:

a) 36 и 40;

б) 75 и 23;

в) 5, 11, 12?

а) 36 и 40;
Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы проверить это, найдем НОД для чисел 36 и 40, разложив их на простые множители.
Разложение числа 36 на простые множители: $36 = 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 40 на простые множители: $40 = 2 \cdot 20 = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 2^3 \cdot 5$.
Чтобы найти НОД, нужно взять общие простые множители в наименьшей степени. Общим множителем для 36 и 40 является 2. Наименьшая степень, в которой 2 входит в разложения, это 2 (из разложения числа 36, где $2^2$).
$НОД(36; 40) = 2^2 = 4$.
Поскольку наибольший общий делитель равен 4, а не 1, числа 36 и 40 не являются взаимно простыми.
Ответ: нет.

б) 75 и 23;
Найдем наибольший общий делитель для чисел 75 и 23. Разложим их на простые множители.
Разложение числа 75: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$.
Число 23 является простым, поэтому оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Его разложение на простые множители — это само число 23.
У чисел 75 и 23 нет общих простых множителей. Единственный их общий натуральный делитель — это 1.
$НОД(75; 23) = 1$.
Так как наибольший общий делитель равен 1, числа 75 и 23 являются взаимно простыми.
Ответ: да.

в) 5, 11, 12?
Несколько чисел являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Найдем НОД для чисел 5, 11 и 12.
Разложим каждое число на простые множители:
Число 5 — простое.
Число 11 — простое.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
У этих трех чисел нет ни одного общего простого множителя. Следовательно, их наибольший общий делитель равен 1.
$НОД(5; 11; 12) = 1$.
Поскольку наибольший общий делитель равен 1, числа 5, 11 и 12 являются взаимно простыми.
Ответ: да.