Номер 32, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

32. Найдите НОД чисел:

а) $13 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 21$ и $13 \cdot 17 \cdot 28$;

б) $15, 18, 30$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, представленных в виде произведений, разложим каждое из них на простые множители. Обозначим первое число как $a = 13 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 21$, а второе как $b = 13 \cdot 17 \cdot 28$.

Разложим на простые множители составные части чисел $21$ и $28$:

$21 = 3 \cdot 7$

$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$

Теперь запишем полные канонические разложения исходных чисел на простые множители:

$a = 13 \cdot 13 \cdot 17 \cdot (3 \cdot 7) = 3^1 \cdot 7^1 \cdot 13^2 \cdot 17^1$

$b = 13 \cdot 17 \cdot (2^2 \cdot 7) = 2^2 \cdot 7^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1$

Для нахождения НОД необходимо взять общие простые множители с наименьшим показателем степени, с которым они входят в оба разложения, и перемножить их.

Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются $7, 13$ и $17$.

• Наименьшая степень для множителя $7$ равна $1$.
• Наименьшая степень для множителя $13$ равна $1$ (так как $13^1$ в разложении $b$).
• Наименьшая степень для множителя $17$ равна $1$.

Следовательно, НОД равен произведению этих множителей в найденных степенях:

$\text{НОД}(a, b) = 7^1 \cdot 13^1 \cdot 17^1 = 7 \cdot 13 \cdot 17 = 91 \cdot 17 = 1547$.

Ответ: $1547$.

б) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел $15, 18, 30$, разложим каждое из них на простые множители.

Разложение числа $15$ на простые множители:

$15 = 3 \cdot 5$

Разложение числа $18$ на простые множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

Разложение числа $30$ на простые множители:

$30 = 3 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

Теперь найдем общие простые множители для всех трех чисел. Единственным простым множителем, который присутствует в разложении каждого из трех чисел, является $3$.

Возьмем этот общий множитель с наименьшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях. В разложении числа $15$ он имеет степень $1$ ($3^1$), в разложении $18$ - степень $2$ ($3^2$), в разложении $30$ - степень $1$ ($3^1$). Наименьший показатель степени равен $1$.

Следовательно, НОД равен $3^1$.

$\text{НОД}(15, 18, 30) = 3$.

Ответ: $3$.