Номер 31, страница 48 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

31. Запишите второе число так, чтобы получились

пары взаимно простых чисел:

а) $16$ и ...;

б) $11$ и ...;

в) $20$ и ... .

а) Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы найти число, взаимно простое с 16, необходимо сначала разложить число 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$. Единственный простой делитель числа 16 — это 2. Следовательно, второе число не должно быть четным, то есть не должно делиться на 2. Любое нечетное число подойдет. В качестве примера возьмем число 9. Разложение числа 9 на простые множители: $9 = 3^2$. Так как у чисел 16 и 9 нет общих простых делителей, их НОД равен 1, и они являются взаимно простыми.
Ответ: 9.

б) Число 11 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя. Любое простое число является взаимно простым со всеми числами, которые не делятся на него. Таким образом, в пару к 11 можно поставить любое число, не кратное 11. Например, можно взять число 12. Так как 12 не делится на 11, то $НОД(11, 12) = 1$, и эти числа взаимно простые.
Ответ: 12.

в) Чтобы найти число, взаимно простое с 20, разложим число 20 на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$. Простыми делителями числа 20 являются 2 и 5. Следовательно, второе число в паре не должно делиться ни на 2, ни на 5. Это означает, что оно должно быть нечетным и не должно оканчиваться на 5. В качестве примера можно взять число 21. Разложение числа 21 на простые множители: $21 = 3 \cdot 7$. У чисел 20 и 21 нет общих простых делителей, поэтому они взаимно просты, и $НОД(20, 21) = 1$.
Ответ: 21.