Номер 43, страница 49 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

43. Найдите НОК чисел двумя способами:

а) 20 и 30;

б) 20 и 24.

а) 20 и 30

Способ 1: Перечисление кратных

Выпишем последовательно числа, кратные каждому из данных чисел, до тех пор, пока не встретится первое общее число.
Числа, кратные 20: 20, 40, 60, 80, 100, ...
Числа, кратные 30: 30, 60, 90, 120, ...
Как видно из рядов, наименьшее число, которое делится и на 20, и на 30, — это 60.
Следовательно, НОК(20, 30) = 60.

Способ 2: Разложение на простые множители

1. Разложим числа 20 и 30 на простые множители.
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$30 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
2. Для нахождения НОК, выберем все простые множители, которые встречаются в разложениях, с их наибольшими степенями. Это $2^2$, $3^1$ и $5^1$.
3. Перемножим эти множители:
НОК(20, 30) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Ответ: 60

б) 20 и 24

Способ 1: Перечисление кратных

Выпишем последовательно числа, кратные каждому из данных чисел, пока не найдем первое общее.
Числа, кратные 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
Числа, кратные 24: 24, 48, 72, 96, 120, ...
Наименьшее общее кратное для 20 и 24 — это 120.
Следовательно, НОК(20, 24) = 120.

Способ 2: Разложение на простые множители

1. Разложим числа 20 и 24 на простые множители.
$20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$
$24 = 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
2. Выпишем множители из разложения большего числа (24) и добавим недостающие множители из разложения меньшего числа (20).
Множители числа 24: $2, 2, 2, 3$.
Множители числа 20: $2, 2, 5$.
В разложении числа 24 не хватает множителя 5. Добавим его.
3. Перемножим множители большего числа на недостающий множитель:
НОК(20, 24) = $(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$.
Либо, используя степени, возьмем каждый простой множитель с наибольшим показателем: $2^3$, $3^1$, $5^1$.
НОК(20, 24) = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

Ответ: 120