Номер 49, страница 49 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

49. Используйте алгоритм и найдите НОД чисел:

а) 40, 46, 60;

б) 14, 196, 7.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) используется алгоритм разложения чисел на простые множители.

а) 40, 46, 60

1. Разложим каждое из чисел на простые множители:

$40 = 2 \times 20 = 2 \times 2 \times 10 = 2 \times 2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$

$46 = 2 \times 23$

$60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$

2. Находим общие простые множители в разложениях всех трех чисел. Единственным общим множителем является число 2.

3. Определяем наименьшую степень, в которой общий множитель (в данном случае 2) входит в каждое из разложений:

• В разложении числа 40 ($2^3 \times 5$) множитель 2 находится в степени 3.
• В разложении числа 46 ($2 \times 23$) множитель 2 находится в степени 1.
• В разложении числа 60 ($2^2 \times 3 \times 5$) множитель 2 находится в степени 2.

Наименьшая из этих степеней – 1.

4. Следовательно, НОД равен общему множителю в наименьшей степени: $2^1$.

НОД(40, 46, 60) = 2.

Ответ: 2

б) 14, 196, 7

1. Разложим каждое из чисел на простые множители:

$14 = 2 \times 7$

$196 = 2 \times 98 = 2 \times 2 \times 49 = 2 \times 2 \times 7 \times 7 = 2^2 \times 7^2$

$7 = 7$ (так как 7 является простым числом)

2. Находим общие простые множители в разложениях всех трех чисел. Единственным общим множителем является число 7.

3. Определяем наименьшую степень, в которой общий множитель 7 входит в каждое из разложений:

• В разложении числа 14 ($2 \times 7$) множитель 7 находится в степени 1.
• В разложении числа 196 ($2^2 \times 7^2$) множитель 7 находится в степени 2.
• В разложении числа 7 ($7$) множитель 7 находится в степени 1.

Наименьшая из этих степеней – 1.

4. Следовательно, НОД равен $7^1$.

НОД(14, 196, 7) = 7.

Дополнительное наблюдение: можно заметить, что 7 является делителем как для 14 ($14 \div 7 = 2$), так и для 196 ($196 \div 7 = 28$). Поскольку 7 является одним из чисел в наборе и делит все остальные числа, он и есть их наибольший общий делитель.

Ответ: 7