Номер 54, страница 49 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

54. Используйте разложение чисел на простые множители и найдите НОК и НОД чисел:

а) 80 и 72;

б) 40 и 92.

а) 80 и 72

Для того чтобы найти Наибольший Общий Делитель (НОД) и Наименьшее Общее Кратное (НОК) чисел, сначала разложим их на простые множители.

Разложение числа 80:

$80 = 8 \cdot 10 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 5$

Разложение числа 72:

$72 = 8 \cdot 9 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^2$

Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени:

Общий множитель для 80 и 72 — это 2. Наименьший показатель степени у двойки — 3 (в разложении числа 72).

НОД(80, 72) = $2^3 = 8$

Чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители из обоих разложений и перемножить их, взяв каждый с наибольшим показателем степени:

Множители: 2, 3, 5. Наибольший показатель степени у 2 это 4, у 3 это 2, у 5 это 1.

НОК(80, 72) = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 720$

Ответ: НОД(80, 72) = 8; НОК(80, 72) = 720.

б) 40 и 92

Разложим числа 40 и 92 на простые множители.

Разложение числа 40:

$40 = 4 \cdot 10 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5$

Разложение числа 92:

$92 = 4 \cdot 23 = (2 \cdot 2) \cdot 23 = 2^2 \cdot 23$

Для нахождения НОД берем общие простые множители с наименьшим показателем степени:

Общий множитель — 2. Наименьший показатель степени — 2.

НОД(40, 92) = $2^2 = 4$

Для нахождения НОК берем все простые множители из обоих разложений с наибольшим показателем степени:

Множители: 2, 5, 23. Наибольший показатель степени у 2 это 3, у 5 это 1, у 23 это 1.

НОК(40, 92) = $2^3 \cdot 5^1 \cdot 23^1 = 8 \cdot 5 \cdot 23 = 40 \cdot 23 = 920$

Ответ: НОД(40, 92) = 4; НОК(40, 92) = 920.