Номер 58, страница 50 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

58. Используйте способ разложения на множители чисел столбиком и признаки делимости и разложите на простые множители число:

а) 5265;

б) 3969.

Найдите $ \text{НОД} (5265; 3969) $.

а) 5265

Чтобы разложить число 5265 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего, используя признаки делимости.

1. Число 5265 оканчивается на 5, значит, оно не делится на 2.

2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числа 5265 равна $5 + 2 + 6 + 5 = 18$. Так как 18 делится на 3, то и 5265 делится на 3.
$5265 \div 3 = 1755$.

3. Для числа 1755 сумма цифр равна $1 + 7 + 5 + 5 = 18$, что также делится на 3.
$1755 \div 3 = 585$.

4. Для числа 585 сумма цифр равна $5 + 8 + 5 = 18$, что делится на 3.
$585 \div 3 = 195$.

5. Для числа 195 сумма цифр равна $1 + 9 + 5 = 15$, что делится на 3.
$195 \div 3 = 65$.

6. Число 65 не делится на 3 (сумма цифр $6 + 5 = 11$). Оно оканчивается на 5, значит, делится на 5.
$65 \div 5 = 13$.

7. Число 13 является простым.

Представим разложение в столбик:

Таким образом, разложение числа 5265 на простые множители: $5265 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 3^4 \cdot 5 \cdot 13$.

Ответ: $5265 = 3^4 \cdot 5 \cdot 13$.

б) 3969

Разложим число 3969 на простые множители.

1. Число 3969 нечетное, поэтому на 2 не делится.

2. Проверим делимость на 3. Сумма цифр $3 + 9 + 6 + 9 = 27$. 27 делится на 3, значит и 3969 делится на 3.
$3969 \div 3 = 1323$.

3. Для числа 1323 сумма цифр $1 + 3 + 2 + 3 = 9$. 9 делится на 3, значит и 1323 делится на 3.
$1323 \div 3 = 441$.

4. Для числа 441 сумма цифр $4 + 4 + 1 = 9$. 9 делится на 3, значит и 441 делится на 3.
$441 \div 3 = 147$.

5. Для числа 147 сумма цифр $1 + 4 + 7 = 12$. 12 делится на 3, значит и 147 делится на 3.
$147 \div 3 = 49$.

6. Число 49 не делится на 3 (сумма цифр 13) и на 5. Оно является квадратом числа 7.
$49 \div 7 = 7$.

7. Число 7 является простым.

Представим разложение в столбик:

Таким образом, разложение числа 3969 на простые множители: $3969 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 3^4 \cdot 7^2$.

Ответ: $3969 = 3^4 \cdot 7^2$.

Найдите НОД (5265; 3969)

Для нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) двух чисел необходимо разложить их на простые множители и найти произведение общих множителей, взятых с наименьшей степенью.

Мы уже нашли разложения:
$5265 = 3^4 \cdot 5^1 \cdot 13^1$
$3969 = 3^4 \cdot 7^2$

Выберем общие простые множители. В данном случае это только множитель 3. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, это 4.

Следовательно, НОД равен этому общему множителю в этой степени.
$НОД(5265; 3969) = 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

Ответ: $НОД(5265; 3969) = 81$.