Номер 55, страница 50 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

55. Как определить, являются ли числа 324 и 111 взаимно простыми числами? Найдите для них НОД и НОК.

Как определить, являются ли числа 324 и 111 взаимно простыми числами?

Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их единственный общий положительный делитель — это 1. Иными словами, их наибольший общий делитель (НОД) должен быть равен 1. Чтобы проверить это для чисел 324 и 111, найдём их НОД. Один из способов — разложить оба числа на простые множители и посмотреть, есть ли у них общие множители, кроме 1.

Разложим число 324 на простые множители:
$324 = 2 \cdot 162 = 2 \cdot 2 \cdot 81 = 2^2 \cdot 3^4$.

Разложим число 111 на простые множители:
Сумма цифр числа 111 (1+1+1=3) делится на 3, значит, и само число делится на 3.
$111 = 3 \cdot 37$. (37 — простое число).

Из разложений видно, что у чисел 324 и 111 есть общий простой множитель — 3. Это означает, что их НОД больше 1, а значит, они не являются взаимно простыми.

Ответ: Чтобы определить, являются ли числа взаимно простыми, нужно найти их НОД. Если НОД равен 1, то числа взаимно простые. В данном случае у чисел 324 и 111 есть общий делитель 3, следовательно, они не являются взаимно простыми.

Найдите для них НОД

Наибольший общий делитель (НОД) — это наибольшее натуральное число, на которое оба числа делятся без остатка. Для нахождения НОД на основе разложения на простые множители, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них в наименьшей степени, в которой он входит в разложения.

Разложения чисел:
$324 = 2^2 \cdot 3^4$
$111 = 3^1 \cdot 37^1$

Единственный общий простой множитель — это 3. Наименьшая степень, в которой он встречается в разложениях, — первая ($3^1$).

Следовательно, $НОД(324, 111) = 3$.

Ответ: НОД(324, 111) = 3.

Найдите для них НОК

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел без остатка. НОК можно найти по формуле, связывающей его с НОД: $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$.

Подставим наши значения:
$НОК(324, 111) = \frac{324 \cdot 111}{3}$

Сократим дробь на 3:
$НОК(324, 111) = 108 \cdot 111 = 11988$.

Другой способ — взять все простые множители, входящие в разложения, в наибольшей степени, и перемножить их:
$НОК(324, 111) = 2^2 \cdot 3^4 \cdot 37^1 = 4 \cdot 81 \cdot 37 = 324 \cdot 37 = 11988$.

Ответ: НОК(324, 111) = 11988.