Номер 57, страница 50 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

57. Составьте пятизначные числа так, чтобы они были кратны:

а) 3 и 5;

б) 2 и 3;

в) 5 и 9;

г) 5 и 4.

а) 3 и 5;

Чтобы число было кратно одновременно 3 и 5, оно должно удовлетворять признакам делимости на оба этих числа. Фактически, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть 15.

• Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.
• Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Составим пятизначное число. Возьмём число, оканчивающееся на 5. Например, пусть последняя цифра будет 5. Теперь подберём остальные четыре цифры так, чтобы их сумма вместе с 5 давала число, кратное 3. Например, возьмём четыре единицы: $1, 1, 1, 1$. Сумма всех цифр в числе 11115 будет равна $1+1+1+1+5=9$. Число 9 делится на 3, значит, число 11115 кратно 3. Так как оно оканчивается на 5, оно кратно и 5.

Ответ: 11115.

б) 2 и 3;

Чтобы число было кратно 2 и 3, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть 6.

• Признак делимости на 2: число должно быть чётным, то есть оканчиваться на 0, 2, 4, 6 или 8.
• Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3.

Составим пятизначное число. Пусть оно оканчивается на чётную цифру, например, на 2. Теперь нужно, чтобы сумма всех цифр была кратна 3. Подберём первые четыре цифры. Пусть это будут 1, 0, 0, 0. Тогда сумма цифр числа 10002 будет $1+0+0+0+2=3$. Число 3 делится на 3, значит, число 10002 кратно 3. Так как оно оканчивается на 2, оно также кратно 2.

Ответ: 10002.

в) 5 и 9;

Чтобы число было кратно 5 и 9, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть 45.

• Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.
• Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

Составим пятизначное число. Пусть оно оканчивается на 0. Тогда сумма остальных четырёх цифр должна делиться на 9. Например, возьмём цифры 1, 8, 0, 0. Их сумма равна $1+8+0+0=9$. Сумма всех цифр числа 18000 будет $1+8+0+0+0=9$. Число 9 делится на 9, значит, 18000 кратно 9. Так как оно оканчивается на 0, оно кратно 5. Другой пример: число 11115 из пункта а) также подходит, так как сумма его цифр равна 9, и оно оканчивается на 5.

Ответ: 18000.

г) 5 и 4.

Чтобы число было кратно 5 и 4, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть 20.

• Признак делимости на 5: число должно оканчиваться на 0 или 5.
• Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4.

Совместим эти два признака. Если число делится на 4, оно должно быть чётным, поэтому его последняя цифра не может быть 5. Следовательно, последняя цифра должна быть 0. Теперь, согласно признаку делимости на 4, число, образованное двумя последними цифрами, должно быть кратно 4. Это могут быть комбинации 00, 20, 40, 60, 80. Выберем, например, окончание 40. Нам нужно составить пятизначное число, оканчивающееся на 40. Первые три цифры могут быть любыми (кроме 0 в первой позиции). Например, 123.

Получаем число 12340. Оно оканчивается на 40, что делится на 4, значит, всё число кратно 4. Оно оканчивается на 0, значит, оно кратно 5.

Ответ: 12340.