Номер 7, страница 52 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

7. У деда с бабкой были чашечные весы и гири массами 1, 3 и 5 кг. Сначала бабка уравновесила репку на весах (репка кладётся на одну чашку весов, гири ставятся на другую). Потом дед уравновесил репку на весах. Мог ли дед использовать для этого на 3 гири больше, чем бабка?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством четности чисел. Все гири, которые есть у деда с бабкой, имеют нечетную массу: 1 кг, 3 кг, 5 кг.

Сумма нескольких нечетных чисел будет четной, если количество слагаемых четно, и нечетной, если количество слагаемых нечетно. Другими словами, четность суммарной массы гирь совпадает с четностью их количества.

Взвешивание бабки

Бабка кладет репку на одну чашу весов, а гири — на другую. Пусть масса репки равна $W$ кг. Масса гирь, которые использует бабка, равна $W_Б$, а их количество — $N_Б$.

Условие равновесия: $W = W_Б$.

Поскольку $W_Б$ — это сумма $N_Б$ гирь нечетной массы, то четность $W_Б$ совпадает с четностью $N_Б$. Следовательно, четность массы репки $W$ также совпадает с четностью количества гирь $N_Б$, использованных бабкой. Математически это можно записать как:$W \equiv N_Б \pmod 2$

Взвешивание деда

Дед также уравновесил репку. В общем случае он мог класть гири на обе чаши весов. Пусть на чашу весов вместе с репкой он положил гири общей массой $W_{Д1}$ (количество гирь $N_{Д1}$), а на другую чашу — гири общей массой $W_{Д2}$ (количество гирь $N_{Д2}$).

Условие равновесия: $W + W_{Д1} = W_{Д2}$, откуда $W = W_{Д2} - W_{Д1}$.

Общее количество гирь, которые использовал дед, равно $N_Д = N_{Д1} + N_{Д2}$.

Так как массы всех гирь нечетны, то четность $W_{Д1}$ совпадает с четностью $N_{Д1}$, а четность $W_{Д2}$ совпадает с четностью $N_{Д2}$.

Запишем уравнение для массы репки $W$ с точки зрения четности:$W \pmod 2 \equiv (W_{Д2} - W_{Д1}) \pmod 2$$W \pmod 2 \equiv (N_{Д2} - N_{Д1}) \pmod 2$

Этот анализ включает и более простой случай, когда дед, как и бабка, кладет все гири на одну чашу. В этом случае $N_{Д1} = 0$, и $W \equiv N_{Д2} \pmod 2$.

Сравнение количества гирь

Мы получили два выражения для четности массы репки $W$:1. От бабки: $W \equiv N_Б \pmod 2$2. От деда: $W \equiv (N_{Д2} - N_{Д1}) \pmod 2$

Приравнивая их, получаем связь между количеством гирь бабки и деда:$N_Б \equiv (N_{Д2} - N_{Д1}) \pmod 2$

Нас интересует разница между количеством гирь, которые использовал дед ($N_Д$) и бабка ($N_Б$), то есть $N_Д - N_Б$. Давайте определим четность этой разницы:$(N_Д - N_Б) \pmod 2 \equiv ((N_{Д1} + N_{Д2}) - (N_{Д2} - N_{Д1})) \pmod 2$$(N_Д - N_Б) \pmod 2 \equiv (N_{Д1} + N_{Д2} - N_{Д2} + N_{Д1}) \pmod 2$$(N_Д - N_Б) \pmod 2 \equiv (2 \cdot N_{Д1}) \pmod 2$$(N_Д - N_Б) \pmod 2 \equiv 0 \pmod 2$

Это означает, что разница между количеством гирь, которые использовал дед, и количеством гирь, которые использовала бабка, всегда является четным числом.

В вопросе спрашивается, мог ли дед использовать на 3 гири больше, чем бабка. Число 3 — нечетное. Поскольку мы доказали, что разница в количестве гирь должна быть четной, она не может быть равна 3.

Ответ: Нет, не мог.