Номер 8, страница 52 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. У Васи было на 10 марок меньше, чем у Юры. Каждый мальчик подарил Саше по 15 марок, и у Васи осталось марок в 2 раза меньше, чем у Юры. По сколько марок было у мальчиков первоначально?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $v$ — это первоначальное количество марок у Васи, а $u$ — первоначальное количество марок у Юры.

Из условия задачи следует, что у Васи было на 10 марок меньше, чем у Юры. Это можно записать в виде первого уравнения:
$v = u - 10$

Затем каждый мальчик подарил Саше по 15 марок. После этого у Васи стало $(v - 15)$ марок, а у Юры — $(u - 15)$ марок.

По новому условию, у Васи осталось в 2 раза меньше марок, чем у Юры. Это значит, что количество марок у Юры стало вдвое больше, чем у Васи. Составим второе уравнение:
$u - 15 = 2 \cdot (v - 15)$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} v = u - 10 \\ u - 15 = 2(v - 15) \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $v$ из первого уравнения во второе:
$u - 15 = 2 \cdot ((u - 10) - 15)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $u$. Сначала упростим выражение в скобках:
$u - 15 = 2 \cdot (u - 25)$

Раскроем скобки:
$u - 15 = 2u - 50$

Перенесем все члены с $u$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$50 - 15 = 2u - u$
$35 = u$
Таким образом, мы нашли, что у Юры первоначально было 35 марок.

Теперь найдем, сколько марок было у Васи, подставив значение $u$ в первое уравнение:
$v = 35 - 10 = 25$
Значит, у Васи первоначально было 25 марок.

Проверка:
Изначально у Васи было 25 марок, а у Юры 35 марок, что на 10 больше ($35 - 25 = 10$). Условие выполняется.
После того, как они отдали по 15 марок, у Васи осталось $25 - 15 = 10$ марок, а у Юры осталось $35 - 15 = 20$ марок. У Юры стало в 2 раза больше марок, чем у Васи ($20 = 2 \cdot 10$). Это условие также выполняется.

Ответ: первоначально у Васи было 25 марок, а у Юры — 35 марок.