Номер 14, страница 53 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Двое по очереди ломают шоколадку размером $6 \times 9$. За один ход можно разломать любой кусок по прямой линии между дольками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Это задача на теорию игр, исход которой не зависит от стратегии игроков, а определяется только общим количеством возможных ходов в игре.

Изначально мы имеем одну плитку шоколада размером $6 \times 9$. Она состоит из $6 \times 9 = 54$ отдельных долек размером $1 \times 1$.

Игра завершается тогда, когда больше нельзя сделать ни одного разлома. Это происходит, когда вся шоколадка разделена на 54 отдельные дольки, так как дольку размером $1 \times 1$ разломать уже невозможно.

Каждый ход в игре заключается в том, что один из имеющихся кусков разламывается на два. Таким образом, каждый сделанный ход увеличивает общее количество кусков шоколада ровно на единицу.

В начале игры есть 1 кусок (целая шоколадка). В конце игры должно получиться 54 куска. Чтобы увеличить количество кусков с 1 до 54, необходимо совершить $54 - 1 = 53$ разлома. Следовательно, общее количество ходов в игре всегда будет равно 53, независимо от того, какие именно разломы и в какой последовательности делают игроки.

Игроки ходят по очереди. Первый игрок делает ходы с нечетными номерами (1-й, 3-й, 5-й и т.д.), а второй игрок — с четными (2-й, 4-й, 6-й и т.д.).

Поскольку общее количество ходов в игре равно 53 (нечетное число), то последний, 53-й ход, сделает первый игрок. После этого хода на столе будут лежать 54 дольки размером $1 \times 1$, и дальнейшие ходы станут невозможны. Ход перейдет ко второму игроку, но он не сможет его сделать.

Согласно условию, "Проигрывает тот, кто не может сделать ход". Так как второй игрок не может сделать ход после 53-го хода первого игрока, он проигрывает. Это означает, что первый игрок выигрывает.

Термин "при правильной игре" означает, что игроки не делают ошибок, но в данном случае стратегия не влияет на конечный результат, так как количество ходов фиксировано. Любая последовательность легальных ходов приведёт к победе первого игрока.

Ответ: Выиграет первый игрок.