Номер 4, страница 54 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

4. Есть 27 монет. Известно, что одна из них фальшивая (по массе больше настоящей). Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Для решения этой задачи используется стратегия деления на три. Поскольку чашечные весы имеют три возможных исхода (левая чаша тяжелее, правая чаша тяжелее или равновесие), каждое взвешивание позволяет сократить количество «подозреваемых» монет в три раза. За $N$ взвешиваний можно найти одну отличающуюся монету среди $3^N$ монет. В нашем случае для 27 монет необходимо $3^3 = 27$, то есть ровно 3 взвешивания.

Первое взвешивание

Разделим 27 монет на три равные группы по 9 монет. Назовем их условно Группа 1, Группа 2 и Группа 3. Положим на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2.

• Если чаши в равновесии, значит, все 18 монет на весах настоящие, а фальшивая (более тяжелая) находится в Группе 3.
• Если перевесила левая чаша, значит, фальшивая монета находится в Группе 1.
• Если перевесила правая чаша, то фальшивая монета — в Группе 2.

В результате первого взвешивания мы определили группу из 9 монет, в которой содержится фальшивка.

Второе взвешивание

Берем «подозрительную» группу из 9 монет и снова делим ее на три равные части по 3 монеты: Группа А, Группа Б и Группа В. Кладем Группу А на левую чашу, а Группу Б — на правую.

• Если весы в равновесии, фальшивка находится в Группе В, оставшейся в стороне.
• Если перевесила левая чаша, фальшивка — в Группе А.
• Если перевесила правая чаша, фальшивка — в Группе Б.

Теперь круг поиска сужен до 3 монет.

Третье взвешивание

Из оставшихся трех монет (назовем их №1, №2, №3) берем две любые и кладем по одной на каждую чашу весов. Например, монету №1 на левую, монету №2 на правую. Монета №3 остается в стороне.

• Если весы в равновесии, значит, на чашах настоящие монеты, а фальшивая — монета №3.
• Если перевесила левая чаша, то фальшивая — монета №1.
• Если перевесила правая чаша, то фальшивая — монета №2.

Таким образом, тремя взвешиваниями мы однозначно определяем фальшивую монету.

Ответ: Фальшивую монету можно определить за три взвешивания, каждый раз разделяя группу «подозреваемых» монет на три равные части. Две части кладутся на весы, а третья остается в стороне. Результат взвешивания (равновесие или перевес) указывает, в какой из трех частей находится более тяжелая монета. Этот процесс повторяется, последовательно сокращая число монет для проверки втрое: с 27 до 9, затем с 9 до 3 и, наконец, с 3 до 1.