Номер 10, страница 55 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

10. Натуральные числа $p, q, r$ таковы, что числа $(p + q)$, $(q + r)$, $(r + q)$ — простые. Докажите, что среди чисел $p, q, r$ есть равные.

В условии задачи, по всей видимости, допущена опечатка. Указано, что числа $(p+q)$, $(q+r)$ и $(r+q)$ являются простыми. Поскольку $(q+r)$ и $(r+q)$ — это одно и то же число, условие сводится к тому, что $(p+q)$ и $(q+r)$ должны быть простыми. В этом случае утверждение, которое нужно доказать, неверно. Например, если взять различные натуральные числа $p=1, q=2, r=3$, то суммы $p+q = 1+2 = 3$ и $q+r = 2+3 = 5$ являются простыми, но среди чисел $p, q, r$ нет равных.
Будем исходить из предположения, что в задаче имелись в виду три симметричные суммы: $(p+q)$, $(q+r)$ и $(r+p)$. Докажем утверждение для этой, исправленной, версии.

Рассмотрим сумму этих трех простых чисел:$S = (p+q) + (q+r) + (r+p) = 2p + 2q + 2r = 2(p+q+r)$. Эта сумма $S$ всегда является четным числом.

Сумма трех простых чисел может быть четной только в двух случаях: либо все три числа четные, либо одно из них четное, а два других — нечетные, так как сумма трех нечетных чисел нечетна.

Рассмотрим первый случай, когда все три числа $(p+q)$, $(q+r)$, $(r+p)$ — четные простые числа.
Единственное простое четное число — это 2. Значит, мы получаем систему равенств:$p+q=2$, $q+r=2$, $r+p=2$. Так как $p$, $q$, $r$ — натуральные числа (то есть $p \ge 1, q \ge 1, r \ge 1$), единственным решением этой системы является $p=1, q=1, r=1$. В этом случае все три числа равны, и утверждение задачи выполняется.

Рассмотрим второй случай, когда одно из чисел $(p+q)$, $(q+r)$, $(r+p)$ — четное простое, а два других — нечетные простые.
Пусть, без ограничения общности, число $(p+q)$ является четным простым. Тогда $(p+q)=2$. Так как $p$ и $q$ — натуральные числа, равенство $p+q=2$ выполняется только тогда, когда $p=1$ и $q=1$. Это означает, что два из чисел, $p$ и $q$, равны. Таким образом, утверждение задачи доказано и для этого случая.
Можно убедиться, что такие наборы чисел существуют. Если $p=1$ и $q=1$, то два других простых числа, $(q+r)$ и $(r+p)$, оба равны $(1+r)$. Нам нужно, чтобы $(1+r)$ было простым числом. Это возможно для многих натуральных $r$. Например, при $r=2$ число $1+r=3$ — простое. Получаем набор чисел $\{1, 1, 2\}$, в котором есть равные числа.

Мы рассмотрели все возможные варианты и в каждом из них пришли к выводу, что как минимум два из чисел $p, q, r$ должны быть равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма трех простых чисел $(p+q) + (q+r) + (r+p) = 2(p+q+r)$ является четной. Это возможно, только если хотя бы одно из слагаемых — четное простое число, то есть 2. Если, например, $p+q=2$, то, поскольку $p$ и $q$ — натуральные числа, необходимо, чтобы $p=q=1$. Следовательно, среди чисел $p, q, r$ есть равные.