Номер 14, страница 56 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

14. Пешеход, велосипедист, мотоциклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке, мотоциклист был в 6 км позади них. В тот момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отставал от них на 3 км. На сколько километров велосипедист обогнал пешехода в тот момент, когда пешехода догнал мотоциклист?

Для решения задачи введем следующие обозначения скоростей:

• $v_П$ – скорость пешехода,
• $v_В$ – скорость велосипедиста,
• $v_М$ – скорость мотоциклиста.

Так как все они движутся в одну сторону с постоянными скоростями, то их скорости можно считать положительными, и $v_П < v_В < v_М$.

Выберем систему отсчета, связанную с дорогой. За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент, когда пешеход и велосипедист находились в одной точке. Эту точку примем за начало координат ($x=0$).

В начальный момент времени ($t=0$) их положения были следующими:

• Положение пешехода: $x_П(0) = 0$.
• Положение велосипедиста: $x_В(0) = 0$.
• Положение мотоциклиста (он был на 6 км позади): $x_М(0) = -6$ км.

Уравнения движения для каждого участника, описывающие их положение $x$ в момент времени $t$, выглядят так:

$x_П(t) = v_П t$

$x_В(t) = v_В t$

$x_М(t) = v_М t - 6$

Рассмотрим первый ключевой момент времени $t_1$, когда мотоциклист догнал велосипедиста. В этот момент их координаты равны:

$x_М(t_1) = x_В(t_1)$

$v_М t_1 - 6 = v_В t_1$

$v_М t_1 - v_В t_1 = 6$

$(v_М - v_В)t_1 = 6$ (1)

В этот же момент времени $t_1$ пешеход отставал от них на 3 км. Это означает, что расстояние между велосипедистом (или мотоциклистом, так как они в одной точке) и пешеходом было 3 км.

$x_В(t_1) - x_П(t_1) = 3$

$v_В t_1 - v_П t_1 = 3$

$(v_В - v_П)t_1 = 3$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с относительными скоростями. Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{(v_М - v_В)t_1}{(v_В - v_П)t_1} = \frac{6}{3}$

$\frac{v_М - v_В}{v_В - v_П} = 2$

Отсюда получаем важное соотношение между относительными скоростями:

$v_М - v_В = 2(v_В - v_П)$

Это означает, что скорость сближения мотоциклиста с велосипедистом в два раза больше скорости, с которой велосипедист удаляется от пешехода.

Теперь рассмотрим второй ключевой момент времени $t_2$, когда мотоциклист догнал пешехода. В этот момент их координаты равны:

$x_М(t_2) = x_П(t_2)$

$v_М t_2 - 6 = v_П t_2$

$v_М t_2 - v_П t_2 = 6$

$(v_М - v_П)t_2 = 6$ (3)

Вопрос задачи: на сколько километров велосипедист обогнал пешехода в момент $t_2$? Мы ищем расстояние $D = x_В(t_2) - x_П(t_2)$.

$D = v_В t_2 - v_П t_2 = (v_В - v_П)t_2$

Чтобы найти $D$, нам нужно связать относительную скорость $(v_М - v_П)$ из уравнения (3) с относительной скоростью $(v_В - v_П)$. Воспользуемся соотношением, которое мы нашли ранее: $v_М - v_В = 2(v_В - v_П)$.

Представим относительную скорость мотоциклиста и пешехода следующим образом:

$v_М - v_П = (v_М - v_В) + (v_В - v_П)$

Теперь подставим известное нам соотношение в это выражение:

$v_М - v_П = 2(v_В - v_П) + (v_В - v_П)$

$v_М - v_П = 3(v_В - v_П)$

Подставим это новое соотношение в уравнение (3):

$3(v_В - v_П)t_2 = 6$

Мы ищем величину $D = (v_В - v_П)t_2$. Из последнего уравнения находим:

$(v_В - v_П)t_2 = \frac{6}{3} = 2$

Следовательно, в тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист обогнал пешехода на 2 км.

Ответ: 2 км.