Номер 16, страница 57 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

16. Петя, проезжая в трамвае, заметил своего друга Васю, который шёл вдоль трамвайной линии в противоположную сторону. Через 10 секунд трамвай остановился, на остановке Петя вышел и стал догонять Васю. Через сколько секунд Петя догонит Васю, если он идёт в 2 раза быстрее Васи и в 5 раз медленнее трамвая?

Для решения задачи разобьем процесс на несколько этапов: определим соотношение скоростей, вычислим расстояние между Петей и Васей к моменту начала погони, а затем найдём время, за которое Петя догонит Васю.

1. Определение соотношения скоростей

Введем переменную для скорости. Пусть скорость Васи равна $v$.

Согласно условию, Петя идёт в 2 раза быстрее Васи, следовательно, скорость Пети равна $2v$.

Также из условия известно, что Петя идёт в 5 раз медленнее трамвая. Это означает, что скорость трамвая в 5 раз больше скорости Пети:

$v_{трамвая} = 5 \cdot v_{Пети} = 5 \cdot (2v) = 10v$.

Таким образом, мы имеем скорости: Васи — $v$, Пети — $2v$, трамвая — $10v$.

2. Расчёт расстояния между Петей и Васей через 10 секунд

Будем считать, что в момент, когда Петя заметил Васю, они находились в одной точке. После этого они начали движение в противоположных направлениях. Этот этап длился $t = 10$ секунд.

За это время трамвай, в котором ехал Петя, отдалился на расстояние $S_1$:

$S_1 = v_{трамвая} \cdot t = 10v \cdot 10 = 100v$.

Вася за те же 10 секунд прошел в противоположную сторону расстояние $S_2$:

$S_2 = v \cdot t = v \cdot 10 = 10v$.

Когда трамвай остановился и Петя вышел, общее расстояние между ними было суммой расстояний, на которые они удалились от точки встречи:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 100v + 10v = 110v$.

3. Расчёт времени, за которое Петя догонит Васю

Петя вышел из трамвая и начал догонять Васю. Вася продолжает идти в своем направлении со скоростью $v$, а Петя идёт за ним со скоростью $2v$. Так как они движутся в одном направлении и Петя быстрее, он будет сокращать расстояние между ними.

Скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_{Пети} - v_{Васи} = 2v - v = v$.

Чтобы найти время, за которое Петя догонит Васю, нужно разделить начальное расстояние между ними на скорость сближения:

$t_{погони} = \frac{S_{общ}}{v_{сбл}} = \frac{110v}{v} = 110$ секунд.

Ответ: 110 секунд.