Номер 11, страница 55 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

11. Сколько сомножителей нужно написать в произведении первых нечётных чисел, чтобы равенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots = 135\ 135$ оказалось верным?

Задача состоит в том, чтобы найти, произведение какого количества первых последовательных нечётных чисел равно $135\,135$. Запишем это в виде уравнения, где $n$ — искомое количество сомножителей:

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1) = 135\,135$

Для нахождения $n$ разложим число $135\,135$ на множители. Заметим, что число вида $\overline{abcabc}$ всегда можно представить как произведение $\overline{abc} \cdot 1001$.

$135\,135 = 135 \cdot 1001$

Теперь разложим на простые множители числа $135$ и $1001$.

$135 = 5 \cdot 27 = 5 \cdot 3^3$

$1001 = 7 \cdot 143 = 7 \cdot 11 \cdot 13$

Соберём все множители вместе:$135\,135 = (5 \cdot 3^3) \cdot (7 \cdot 11 \cdot 13) = 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$

Нам нужно представить это как произведение последовательных нечётных чисел. В ряду нечётных чисел есть $3$ и $9$. Заметим, что $3^3 = 27$, но мы можем представить $3^3$ как $3 \cdot 9$.

$135\,135 = (3 \cdot 9) \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$

Расположив эти нечётные множители в порядке возрастания, получаем:$3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13$

Произведение в условии задачи начинается с 1. Так как умножение на 1 не изменяет результат, мы можем добавить этот сомножитель в начало:$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 = 135\,135$

Теперь, когда равенство составлено, посчитаем количество сомножителей в левой части. Сомножителями являются числа: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$.

Всего в произведении 7 сомножителей.

Ответ: 7