Номер 6, страница 55 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

6. Среди 101 одинаковой по виду монеты одна фальшивая, отличающаяся по массе. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета?

Для того чтобы за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета, необходимо применить следующий алгоритм.

Первое взвешивание

Разделим все 101 монету на три группы:

• Группа 1: 34 монеты
• Группа 2: 34 монеты
• Группа 3: 33 монеты

Поместим на левую чашу весов Группу 1, а на правую — Группу 2. Группу 3 пока оставим в стороне. В результате этого взвешивания возможны два основных исхода:

1. Весы находятся в равновесии. Это означает, что все 68 монет на весах (из Групп 1 и 2) являются настоящими. Следовательно, фальшивая монета находится среди 33 монет в Группе 3.

2. Весы не в равновесии (одна чаша перевесила). Для определенности предположим, что Группа 1 оказалась тяжелее Группы 2. Это означает, что все 33 монеты в Группе 3 — настоящие. Фальшивая монета находится либо в Группе 1 (и она тяжелее настоящей), либо в Группе 2 (и она легче настоящей).

Второе взвешивание

Дальнейшие действия зависят от результата, полученного на первом шаге.

Случай 1: Весы в первом взвешивании были в равновесии.

В этом случае мы знаем, что фальшивая монета находится в Группе 3, а все монеты в Группах 1 и 2 — настоящие. Для второго взвешивания поместим все 33 монеты из Группы 3 на левую чашу весов, а на правую чашу — 33 заведомо настоящие монеты (например, из Группы 1).

• Если левая чаша окажется тяжелее, значит, фальшивая монета тяжелее настоящей.
• Если левая чаша окажется легче (т.е. правая перевесит), значит, фальшивая монета легче настоящей.

Случай 2: Весы в первом взвешивании не были в равновесии (например, Группа 1 тяжелее Группы 2).

В этом случае мы знаем, что либо фальшивая монета в Группе 1 и она тяжелее, либо она в Группе 2 и она легче. Чтобы это выяснить, проведем второе взвешивание. Уберем все монеты с весов. Возьмем Группу 1 (34 монеты, которая была на более тяжелой чаше) и разделим ее на две равные части по 17 монет. Поместим одну часть на левую чашу весов, а вторую — на правую.

• Если весы окажутся в равновесии, это будет означать, что все 34 монеты из Группы 1 — настоящие. Следовательно, наша гипотеза о тяжелой монете в Группе 1 неверна. Значит, верна вторая гипотеза: фальшивая монета находится в Группе 2, и она легче настоящей.
• Если одна из чаш перевесит, это будет означать, что на ней находится тяжелая фальшивая монета. Следовательно, фальшивая монета из Группы 1, и она тяжелее настоящей.

Таким образом, предложенный метод позволяет в любом случае за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета.

Ответ: Да, это возможно. Нужно разделить монеты на группы (34, 34, 33). Первое взвешивание — сравнение групп по 34 монеты. В зависимости от результата (равенство или неравенство), второе взвешивание проводится по одному из двух описанных выше сценариев, что позволяет однозначно определить, легче или тяжелее фальшивая монета.