Номер 8, страница 55 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

8. В каждой клетке доски $5 \times 5$ клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом остаётся пустая клетка?

Да, обязательно. Чтобы доказать это, воспользуемся методом раскраски.

1. Раскраска доски. Раскрасим доску размером $5 \times 5$ в шахматном порядке. Общее количество клеток равно $5 \times 5 = 25$. Поскольку общее число клеток нечетно, количество клеток одного цвета будет больше, чем другого. Если мы примем, что угловые клетки белые, то на доске окажется 13 белых и 12 черных клеток.

2. Правило движения жуков. По условию, каждый жук переползает на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. В шахматной раскраске любая соседняя клетка имеет противоположный цвет. Следовательно, каждый жук, который изначально сидел на белой клетке, переползет на черную, а каждый жук с черной клетки переползет на белую.

3. Применение принципа Дирихле.

• Изначально у нас есть 13 жуков на 13 белых клетках. Все эти 13 жуков должны переползти на черные клетки.
• Однако на доске всего 12 черных клеток.

Согласно принципу Дирихле, если 13 объектов (жуков с белых клеток) нужно разместить в 12 ячейках (черных клетках), то по крайней мере в одной ячейке окажется более одного объекта. Это означает, что как минимум два жука займут одну и ту же черную клетку.

4. Вывод. Поскольку 25 жуков должны занять свои новые позиции, и мы уже доказали, что как минимум два жука окажутся на одной и той же клетке, это означает, что все 25 жуков не смогут занять 25 разных клеток. Максимальное количество клеток, которое они могут занять, равно 24 (если только два жука окажутся на одной клетке, а остальные на разных). Так как всего на доске 25 клеток, а занято будет не более 24, то как минимум одна клетка обязательно останется пустой.

Ответ: Да, обязательно останется пустая клетка.