Номер 5, страница 54 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

5. Имеются чашечные весы со стрелками и 10 мешков с монетами. Монеты во всех мешках одинаковы по внешнему виду, но в одном из мешков все монеты фальшивые и масса каждой 2 грамма, а в остальных девяти мешках все монеты настоящие и масса каждой 1 грамм. Как при помощи одного взвешивания определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Для того чтобы определить мешок с фальшивыми монетами за одно взвешивание с помощью весов, показывающих точную массу, необходимо применить следующий метод:

1. Пронумеровать все мешки
Каждому из 10 мешков присваивается уникальный номер от 1 до 10.

2. Отобрать монеты для взвешивания
Из каждого мешка нужно взять количество монет, равное его порядковому номеру. Таким образом, получится следующая выборка:
- из мешка №1 — 1 монета;
- из мешка №2 — 2 монеты;
- из мешка №3 — 3 монеты;
...и так далее до мешка №10, из которого берется 10 монет.

3. Провести взвешивание
Все отобранные монеты помещаются на весы. Общее количество монет, которое мы взвешиваем, равно сумме чисел от 1 до 10:
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$ монет.

4. Рассчитать эталонный вес
Если бы все монеты были настоящими, их общая масса составила бы:
$55 \text{ монет} \times 1 \text{ грамм} = 55 \text{ грамм}$.
Это наш эталонный, или ожидаемый, вес.

5. Определить мешок с фальшивыми монетами
Каждая фальшивая монета весит на 1 грамм больше настоящей ($2 \text{ г} - 1 \text{ г} = 1 \text{ г}$). Из-за этого итоговый вес на весах будет превышать эталонный. Величина этого превышения (избыточный вес) прямо укажет на номер мешка с фальшивыми монетами.
Если фальшивые монеты находятся в мешке с номером $N$, то мы взяли из него $N$ монет. Каждая из них добавит 1 грамм к эталонному весу. Следовательно, общий избыток веса будет равен $N$ граммам.
Формула для определения номера мешка проста: пусть $W$ — это вес, который показали весы. Тогда номер мешка с фальшивками ($N$) равен:
$N = W - 55$
Например:
- Если весы показывают 58 г, то избыточный вес составляет $58 - 55 = 3$ г. Значит, фальшивые монеты находятся в мешке №3.
- Если весы показывают 65 г, то избыточный вес составляет $65 - 55 = 10$ г. Значит, фальшивые монеты находятся в мешке №10.

Ответ: Необходимо пронумеровать мешки от 1 до 10. Затем взять из мешка №1 одну монету, из мешка №2 – две монеты, и так далее до десятого мешка, из которого взять десять монет. Все отобранные монеты нужно взвесить вместе. Номер мешка с фальшивыми монетами будет равен разнице между показанием весов в граммах и числом 55.